第一章 §1.1 集 合（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.1　集　合 课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉(或∉，)表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋ Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)．若A包含于B，则称A是B的一个子集． (2)真子集：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB. (3)相等：如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B. (4)空集：没有元素的集合叫空集，记作∅. 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　) 2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|7<x<10} C．{x|2<x<3或7≤x<10} D．{x|2<x≤3或7<x<10} 答案　C 解析　因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 3．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________. 答案　2 解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2. 4．已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 答案　[2，＋∞) 解析　因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(2024·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于(　　) A．{0,3} B．{(0,0)，(3,9)} C．{(0,0)} D．{(3,9)} 答案　B 解析　由题意得解得或 故A∩B＝{(0,0)，(3,9)}． (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 答案　－ 解析　由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－. 思维升华　解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4. (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 答案　C 解析　∵－1∈A， ∴当a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合中元素的互异性； 当a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时， A＝{1，－2，－1}，符合题意，故a＝0. 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 答案　A 解析　因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}， 所以A⊆B. (2)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a等于(　　) A．2 B．1 C. D．－1 答案　B 解析　若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意． 综上所述，a＝1. 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 答案　B 解析　因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM. (2)(2024·南平质检)设集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为(　　) A．{a|a≥3} B．{a|－1≤a≤3} C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1} 答案　D 解析　由A⊆B可得a≤－1. 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. 答案　D 解析　因为M＝{x|<4}， 所以M＝{x|0≤x<16}； 因为N＝{x|3x≥1}， 所以N＝. 所以M∩N＝. (2)(多选)(2023·潍坊模拟)若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A．P⊆M B．M∩P＝M C．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅ 答案　BC 解析　由M∩N＝N，可得N⊆M， 由M∪P＝P，可得M⊆P， 则推不出P⊆M，故A错误； 由M⊆P，可得M∩P＝M，故B正确； 因为N⊆M且M⊆P， 所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确； 由N⊆M，可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误． 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ 答案　BCD 解析　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝， －＝2或－＝－3， 解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. (2)(2023·齐齐哈尔检测)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　D 解析　因为A∪B＝R，所以a－1≥1，解得a≥2. 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3} B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2} C．A∩B＝{x|2<x<3} D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集 答案　ACD 解析　由x2－2x>0，得x<0或x>2， 所以A＝{x|x<0或x>2}， 所以∁RA＝{x|0≤x≤2}， 对于A，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确； 对于B，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误； 对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}， B＝{x|1<x<3}， 所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确； 对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}， 所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确． (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　因为集合A，B满足A＝{x|x>1}， B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅， 则a－1≤1，解得a≤2. 课时精练 一、单项选择题 1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案　A 解析　由题意知M＝{2,4,5}． 2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 答案　C 解析　方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)， 而M＝{－2，－1,0,1,2}， 所以M∩N＝{－2}． 方法二　因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0，1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立， 所以M∩N＝{－2}． 3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4. 4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　) A．(∁UA)∩B B．A∩B C．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB) 答案　D 解析　由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅. 5．(2023·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于(　　) A．0或4 B．1或4 C．0 D．4 答案　A 解析　∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}， ∴m＝4或m＝m2， 当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意； 当m＝m2时，得m＝0或m＝1， 当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意； 当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性． 综上，m可取0,4. 6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则(　　) A．M∩N≠∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M＝N 答案　A 解析　因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误． 7．已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a≥0}，且A∩B＝{1,2}，则a的取值范围为(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．(0,3] D．(0,3) 答案　C 解析　因为A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0,1,2}， B＝{x|3x－a≥0}＝， 又A∩B＝{1,2}， 所以0<≤1， 解得0<a≤3，则a的取值范围为(0,3]． 8．已知集合A＝{x|x>4}，B＝{x|x<2m}，且∁RB⊆A，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 答案　A 解析　因为B＝{x|x<2m}， 所以∁RB＝{x|x≥2m}， 又A＝{x|x>4}，且∁RB⊆A，所以2m>4，得到m>2. 二、多项选择题 9．已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则(　　) A．M∪N＝N B．M∩N＝N C．∁IM⊆∁IN D．(∁IN)∩M＝∅ 答案　AD 解析　因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误； 又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确． 10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　ABC 解析　A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意； 当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1， 综上可得a＝0或±1. 三、填空题 11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________． 答案　4 解析　根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N＋且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)． 12．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案　{m|m≤4} 解析　因为A∪B＝A，则B⊆A. 当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅⊆A，满足题意； 当m＋1≤2m－1，即m≥2时，B≠∅， 由B⊆A可得解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4. 综上所述，m≤4. 13．已知集合A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}，若A∪B＝R，且A∩B＝[－2，－1)，则p，q的值分别为(　　) A．－1，－6 B．1，－6 C．3,2 D．－3,2 答案　A 解析　由|x－1|>2可得x－1>2或x－1<－2， 解得x>3或x<－1， 所以A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A∪B＝R，A∩B＝[－2，－1)， 所以B＝[－2,3]， 所以－2,3是方程x2＋px＋q＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得p＝－1，q＝－6. 14．(多选)设集合M＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝6k＋4，k∈Z}，P＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则下列说法中正确的是(　　) A．M＝NP B．(M∪N)P C．M∩N＝∅ D．∁PM＝N 答案　CD 解析　因为M＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3(2k＋1)－2，k∈Z}，N＝{x|x＝6k＋4，k∈Z}＝{x|x＝3(2k＋2)－2，k∈Z}，当k∈Z时，2k＋1为奇数，2k＋2为偶数，则M≠N，M∪N＝P，M∩N＝∅，∁PM＝N. 学科网（北京）股份有限公司 $