第一章 §1.1 集 合（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.1　集　合

课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．

 知识梳理

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉(或∉，)表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

 

2.集合的基本关系

(1)子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)．若A包含于B，则称A是B的一个子集．

(2)真子集：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB.

(3)相等：如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B.

(4)空集：没有元素的集合叫空集，记作∅.

3．集合的基本运算

 

常用结论

1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)

(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)

(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　)

2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于(　　)

A．{x|2<x≤3}

B．{x|7<x<10}

C．{x|2<x<3或7≤x<10}

D．{x|2<x≤3或7<x<10}

答案　C

解析　因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．

3．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.

答案　2

解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.

4．已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．

答案　[2，＋∞)

解析　因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.

题型一　集合的含义与表示

例1　(1)(2024·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于(　　)

A．{0,3}   B．{(0,0)，(3,9)}

C．{(0,0)}   D．{(3,9)}

答案　B

解析　由题意得解得或

故A∩B＝{(0,0)，(3,9)}．

(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案　－

解析　由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，

则m＝1或m＝－.

当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.

思维升华　解决集合含义问题的关键点

(1)一是确定构成集合的元素．

(2)确定元素的限制条件．

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．

跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4.

(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)

A．1   B．1或0

C．0   D．－1或0