第一章 §1.4 基本不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.4　基本不等式

课标要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．

 知识梳理

1．基本不等式：≥

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最值

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.

简记为：积定和最小，和定积最大．

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

常用结论

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)＋≥2(a，b同号)．

(3)ab≤2 (a，b∈R)．

(4)≥2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　)

(2)y＝x＋的最小值是2.(　×　)

(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　)

(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　)

2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋  B．1＋  C．3  D．4

答案　C

解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.

3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　A

解析　因为0<x<1，所以1－x>0，

所以x(1－x)≤2＝，

当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，

故x(1－x)的最大值为.

4．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________．

答案　4

解析　由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4.

题型一　直接法求最值

例1　(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　)

A．x－   B．2x＋2－x

C．x2＋   D.＋

答案　BC

解析　选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意；

选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意；

选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意；

选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．

(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

答案　3

解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2，

即12≥2，

解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)．

思维升华　对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．

跟踪训练1　(1)下列函数中最小值为4的是(　　)

A．y＝x2＋2x＋4

B．y＝2x＋22－x

C．y＝|sin x|＋

D．y＝ln x＋

答案　B

解析　对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，

当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误；

y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确；