第一章 §1.4 基本不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.4　基本不等式 课标要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理 1．基本不等式：≥ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值. 简记为：积定和最小，和定积最大． 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　×　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　) 2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　因为0<x<1，所以1－x>0， 所以x(1－x)≤2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立， 故x(1－x)的最大值为. 4．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________． 答案　4 解析　由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4. 题型一　直接法求最值 例1　(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ 答案　BC 解析　选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2， 即12≥2， 解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)． 思维升华　对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． 跟踪训练1　(1)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝2x＋22－x C．y＝|sin x|＋ D．y＝ln x＋ 答案　B 解析　对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确； y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝时取等号， 由于|sin x|＝时，|sin x|＝2， 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立， 故y＝|sin x|＋≥4取不到等号，故C错误； 对于y＝ln x＋，由于ln x可能小于0， 即y＝ln x＋的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误． (2)已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 答案　C 解析　函数y＝＝－3x－＋2 ＝－＋2， ∵x>0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立， 故y＝－＋2≤－4＋2， 则y的最大值为2－4. 题型二　配凑法求最值 例2　(1)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 答案　D 解析　∵x>2，∴x－2>0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6(当且仅当x－2＝， 即x＝4时取等号)， ∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. (2)当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案　8 解析　因为y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤2＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 思维升华　配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值． 跟踪训练2　(1)已知x<0，则－x的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 答案　D 解析　因为x<0，则1－x>1，－x＝＋(1－x)－1≥2－1＝2－1， 当且仅当＝1－x，即x＝1－时取等号， 所以－x的最小值为2－1. (2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析　因为正数x，y满足x＋2y＝2， 所以xy＝x·≤2＝， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号， 所以xy的最大值为. 题型三　常数代换法求最值 例3　(1)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 答案　C 解析　8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 答案　72 解析　∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0， ∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． (2)(2023·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＋ ＝[(a＋1)＋(b＋2)] ＝ ≥ ＝1. 当且仅当即时取等号． 综上，＋的最小值为1. 思维升华　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 跟踪训练3　(1)若m>0，n>0且m＋n＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B. C．3 D. 答案　D 解析　因为m>0，n>0且m＋n＝2， 所以＋＝(m＋n)＝ ≥＝， 当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立． (2)已知a>，b>，且2a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　C 解析　因为2a＋b＝2， 所以(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则＋＝[(4a－1)＋(2b－1)]·＝≥2， 当且仅当＝， 即a＝，b＝1时，等号成立． 题型四　构造不等式法求最值 例4　(1)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去)． 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 延伸探究　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________． 答案　6 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≤2，整理可得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去) 所以当a＝b＝3时，a＋b的最小值为6. (2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案　A 解析　∵实数a，b满足＋＝，∴a>0，b>0，且≥2，解得ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取等号．则ab的最小值为2. 思维升华　若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值． 跟踪训练4　(1)若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 答案　D 解析　方法一　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 又x>0，y>0，xy≤2， 所以x＋y≤，解得x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 方法二　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 所以＋＝2， 则x＋y＝(x＋y)＝≥＝2， 当且仅当即时，等号成立． (2)(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 答案　AD 解析　x＋2y＝1≥2，即xy≤2＝，故A正确； 当x＝，y＝时，＝>，故B错误； ＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2， 故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝52＋，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确． 课时精练 一、单项选择题 1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 答案　B 解析　因为m>0，n>0， 由基本不等式m＋n≥2得， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立， 所以m＋n的最小值是18. 2．已知正数x，y满足＋＝2，则x＋y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋ D．2＋ 答案　D 解析　因为正数x，y满足＋＝2， 所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝2＋，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为2＋. 3．若x>0，y>0，且2x＋3y＝12，则xy的最大值为(　　) A．9 B．6 C．3 D. 答案　B 解析　因为x>0，y>0，且2x＋3y＝12， 所以xy＝·2x·3y≤2＝6， 当且仅当2x＝3y，即x＝3，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值为6. 4．已知a>0，b>0，且a＋2b＝，则a＋2b的最大值为(　　) A. B. C．3 D．4 答案　A 解析　∵a>0，b>0，a＋2b＝， ∴(a＋2b)2＝2ab＋4＝a·2b＋4≤2＋4， 化简得(a＋2b)2≤， 解得0<a＋2b≤， 当且仅当 即a＝2b＝时取等号， 故a＋2b的最大值为. 5．函数f(x)＝(x>1)的最小值为(　　) A．2 B．3＋2 C．2＋2 D．5 答案　B 解析　因为x>1，所以x－1>0， 所以f(x)＝＝＝(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3， 当且仅当x－1＝， 即x＝＋1时取等号， 所以函数f(x)＝(x>1)的 最小值为3＋2. 6．已知实数x>0>y，且＋＝，则x－y的最小值是(　　) A．21 B．25 C．29 D．33 答案　A 解析　∵x>0>y，等式＋＝恒成立， ∴(x－y＋3)＝(x＋2＋1－y)， 由于x>0>y，∴1－y>0,2＋x>0， ∴(x＋2＋1－y)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＋2＝1－y，即x＝10，y＝－11时取等号． ∴(x－y＋3)≥4， ∴x－y≥21，故x－y的最小值为21. 二、多项选择题 7．下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 答案　AD 解析　对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意． 8．若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则(　　) A.＋>1 B．x＋2y＋xy≥9＋6 C．xy≤8 D.＋≥2 答案　ABD 解析　已知x>0，y>0，∵2x＋y＝xy， ∴＋＝1. ∴＋>＋＝1，故A正确； x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋＋≥9＋6， 当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时，等号成立，故B正确； 2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8， 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时，等号成立，故C错误； 由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2， 由题意知，x－1>0，y－2>0， 则＋≥2＝2， 当且仅当＝，即x＝2，y＝4时，等号成立，故D正确． 三、填空题 9．若x<2，则x＋的最大值为________． 答案　－4 解析　x＋＝x－2＋＋2， 由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋≥2＝6， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋＝－≤－6， 故x＋＝x－2＋＋2≤－4， 所以x＋的最大值为－4. 10．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________． 答案　 解析　因为a>1，b>2，所以a－1>0，b－2>0， 又a＋b＝5， 所以(a－1)＋(b－2)＝2，即[(a－1)＋(b－2)]＝1， 所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]·＝≥ ＝×(5＋4)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为. 四、解答题 11．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解　(1)因为x>0，y>0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0,0<x<30,2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 12．已知x，y都是正数． (1)若2x＋3y＝3，求xy的最大值； (2)若＋＝2，且x>y，求x＋y的最小值． 解　(1)因为x，y都是正数， 则2x＋3y≥2＝2， 即2≤3， 解得xy≤，当且仅当2x＝3y， 即时取等号， 所以xy的最大值为. (2)已知x，y都是正数，且x>y， 由＋＝2， 可得x＋y＝x－y＋2y＝(x－y＋2y)＝ ≥×＝2， 当且仅当＝， 即时，等号成立， 所以x＋y的最小值为2. 13．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　由x>y>0得 2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故＋＝(a＋2b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且a＋2b＝1， 即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，x＋2y＝， 即x＝，y＝时，等号成立， 故＋的最小值为9. 14．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________． 答案　4 解析　∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0， a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋ ＝a2－ab＋＋ab＋ ＝a(a－b)＋＋ab＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当即a＝，b＝时，等号成立． ∴a2＋＋的最小值是4. 学科网（北京）股份有限公司 $