第一章 §1.3 等式与不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.3　等式性质与不等式性质 课标要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 a>b⇔b<a 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 推论1：a＋b>c⇔a>c－b 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 推论5：a>b>0⇒> 5 取倒数 a>b，ab>0⇒< a>b，ab<0⇒> 常用结论 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b>0,0<c<d⇒>； ②0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　) (2)若>1，则b>a.(　×　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　×　) (4)若>，则b<a.(　×　) 2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B.> C．a2<b2 D．a3<b3 答案　D 解析　对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________． 答案　< 解析　<. 证明：－＝＝， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0， ∴<0，∴<. 4．已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________． 答案　(－2,1) 解析　因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ 答案　AD 解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝ (a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－＝(a－b)>0，故D正确． (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 答案　C 解析　由题设，易知x，y>0， 又＝＝<1， ∴x<y. 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练1　(1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 答案　A 解析　因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0， 所以s≥t. (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． 答案　M>N 解析　方法一　∵M－N＝－ ＝ ＝ ＝>0. ∴M>N. 方法二　令f(x)＝ ＝＝＋， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 题型二　不等式的基本性质 例2　(1)若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D.> 答案　B 解析　由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0， 所以<，故D错误． (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则> 答案　BCD 解析　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， ∴－＝＝>0， ∴>，故C正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， ∴>>0， 又b>c>0， 由可乘性知，>，故D正确． 思维升华　判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 跟踪训练2　(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1， 满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立， 所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件． (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 答案　ABD 解析　因为a>b>0，>0，所以>， 即<，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln ，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 答案　D 解析　因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 延伸探究 若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 答案　B 解析　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N+， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 跟踪训练3　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4,7] B．b－a的取值范围为[2,3] C．ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 答案　AC 解析　因为1≤a≤2,3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4,7]， b－a的取值范围为[1,4]， 故A正确，B错误； 因为1≤a≤2,3≤b≤5， 所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误． (2)已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为__________． 答案　(－1,9) 解析　设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)， 则解得 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)． 又－4<2(x－y)<0,3<3(2x＋y)<9， ∴8x＋y∈(－1,9)． 课时精练 一、单项选择题 1．已知a，b∈R，则“>”是“ln a>ln b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若“>”，取a＝1，b＝0， 但是ln b无意义， 所以由“>”推不出“ln a>ln b”， 若“ln a>ln b”，则a>b>0， 所以>， 所以由“ln a>ln b”可推出“> ”， 所以“>”是“ln a>ln b”的必要不充分条件． 2．地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1 000 km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了．平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是(　　) A．|x－30|<20 B．|x＋30|<20 C．|x＋10|<50 D．|x－10|<50 答案　A 解析　平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域， 若x能表示平流层高度，则10<x<50， 所以－20<x－30<20，即|x－30|<20. 3．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 答案　A 解析　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 即m≥n. 4．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B．2a>2b C．a2>b2 D．|a|>|b| 答案　B 解析　取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确． 5．若c>b>a>0，则(　　) A．abbc>acbb B．2ln b<ln a＋ln c C．a－>b－ D．logac>logbc 答案　A 解析　由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确； 2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误； 由于a－－＝(a－b)<0，故C错误； 令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误． 6．已知实数m，n满足0<n<m<1，则(　　) A.> B．m＋>n＋ C．mn<nm D．logmn>lognm 答案　D 解析　由0<n<m<1知，n－m<0， 故－＝<0， 所以<，故A错误； 由0<n<m<1，得m－n>0,1－＝<0， 所以m＋－＝(m－n)<0， 即m＋<n＋，故B错误； 因为指数函数y＝mx为减函数，故mn>mm， 由幂函数y＝xm 为增函数知，mm>nm，故mn>nm，故C错误； 根据0<n<m<1知，对数函数y＝logmx，y＝lognx为减函数， 故logmn>logmm＝1＝lognn>lognm，故D正确． 二、多项选择题 7．下列结论中不正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若<，则a>b C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若2a－b>1，则a<b 答案　BCD 解析　ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确； 取a＝－1，b＝1，满足<， 又a<b，故B错误； 取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误； 取a＝2，b＝1，满足2a－b>1， 又a>b，故D错误． 8．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．－1<x<2 B．－2<y<1 C．－3<x＋y<3 D．－1<x－y<3 答案　ABD 解析　因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8， 则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确； 又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4， 所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确； x＋y＝∈(－2,2)，故C错误； x－y＝∈(－1,3)，故D正确． 三、填空题 9．已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________． 答案　ab<ab2<a 解析　因为a>0，－1<b<0， 所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a， 故ab<ab2<a. 10．若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b>ab；②>. 请写出一组a，b的值________． 答案　a＝－1，b＝2(答案不唯一) 解析　容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0， 即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2； 当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案． 四、解答题 11．(1)设a>b>0，比较与的大小； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. (1)解　∵a>b>0，∴>0，>0， ∴＝＝1＋>1， ∴>. (2)证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0， ∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0， 又e<0， ∴－＝＝＝>0， ∴>. 12．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； (2)求3a－2b的取值范围． 解　(1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]， 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6， ∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[－2,3]． (2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， 则解得 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)， ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. ∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10， ∴－4≤3a－2b≤11， 即3a－2b的取值范围为[－4,11]． 13．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　) A．(a＋c)2> B.< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 答案　ABD 解析　对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确． 14．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农副产品m吨，按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为减少农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x(x＞0)个百分点，收购量增加2x个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，则x的取值范围为________． 答案　(0,2] 解析　原计划税收为2 400m×8%，税率降低x个百分点后的税收为m(1＋2x%)×2 400×(8－x)%，依题意可得m(1＋2x%)×2 400×(8－x)%≥2 400m×8%×78%，整理得x2＋42x－88≤0，即(x＋44)(x－2)≤0，因为x＞0，所以x的取值范围为(0,2]． 学科网（北京）股份有限公司 $