第五章 必刷小题10 平面向量与复数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题10　平面向量与复数 一、单项选择题 1．(2023·马鞍山模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(2m－1,3)，若a与b共线，则实数m等于(　　) A. B．5 C. D．1 答案　B 解析　由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5. 2．设复数z是纯虚数，若是实数，则等于(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i 答案　D 解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)， 所以＝＝＝是实数， 所以2＋b＝0，即b＝－2. 所以z＝－2i，所以＝2i. 3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案　D 解析　由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0， ∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，－6)． 4．(2024·哈尔滨模拟)已知|b|＝，且a·b＝－2，则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A．－a B.a C．－b D.b 答案　C 解析　向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝|a|··＝·b＝－b. 5．(2023·洛阳模拟)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＝0 D．y＝0 答案　D 解析　设复数z，－i，i在复平面内对应的点分别为Z(x，y)，A(0，－1)，B(0,1)， 则|z＋i|＝|z－i|的几何意义是点Z到点A的距离与点Z到点B的距离相等， 则z在复平面内对应的点(x，y)满足y＝0. 6．(2023·宜春模拟)已知a，b为单位向量，且|2a－b|＝，则a与a＋b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a，b为单位向量， ∴|a|＝|b|＝1， ∴|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝5－4a·b＝7， 解得a·b＝－， ∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1－＝，|a＋b|＝＝＝1， ∴cos〈a，a＋b〉＝＝， 又〈a，a＋b〉∈[0，π]， ∴〈a，a＋b〉＝. 7．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD⊥AB于点D，则(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 答案　A 解析　∵·＝||||cos∠AOB ＝2cos∠AOB＝－1， ∴cos∠AOB＝－， 又∵0°<∠AOB<180°， ∴∠AOB＝120°. 在△AOB中，根据余弦定理可得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7， 解得AB＝， 根据三角形面积公式S△AOB＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°， 解得OD＝， ∴AD＝＝， ∴＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 8．(2023·长沙模拟)如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．若＝(3,1)，＝(1,3)，则△OMN的面积为(　　) A. B．2 C. D．4 答案　B 解析　设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2， 则＝3e1＋e2，＝e1＋3e2，＝－＝2e1－2e2，e1·e2＝cos 60°＝， 所以||2＝(2e1－2e2)2＝4e＋4e－8e1·e2＝4， 所以||＝2， 又因为||2＝(3e1＋e2)2＝9e＋e＋6e1·e2＝13， 所以||＝， ||2＝(e1＋3e2)2＝e＋9e＋6e1·e2＝13， 所以||＝， 故S△OMN＝×2×＝2. 二、多项选择题 9．已知向量a，b满足a·b＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝，则(　　) A．|a|＝2 B．a⊥(a－b) C．a与b的夹角为 D．a与b的夹角为 答案　AC 解析　由已知可得，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝7. 又a·b＝1，|b|＝1， 所以a2＝4，所以|a|＝2，故A正确； 因为a·(a－b)＝a2－a·b＝3≠0，故B错误； 因为cos〈a，b〉＝＝，所以a与b的夹角为，故C正确，D错误． 10．(2023·沈阳模拟)已知复数z1＝m2－1＋(m＋1)i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是(　　) A．若z1为纯虚数，则m＝1 B．若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z C．若z1＝z2，则m＝0或m＝－ D．若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案　ABC 解析　对于A，若复数z1＝m2－1＋(m＋1)i是纯虚数，则解得m＝1，故A正确； 对于B，若z2＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确； 对于C，若z1＝z2，则则m2－1＝1－2(m＋1)2，解得m＝0或m＝－，故C正确； 对于D，若z1≥0，则解得m＝－1，故D错误． 11．(2024·黄山模拟)如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，M，N是直径EF上关于圆心O对称的两点，且EF＝8，MN＝6，则(　　) A.＝＋ B.＋＝＋ C.·>· D.－>－ 答案　BC 解析　由题意可得||＝||＝1. 对于A，可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A错误； 对于B，由＝，可得－＝－，整理得＋＝＋，故B正确； 对于C，由题意可得0°<∠MPN<∠EPF＝90°，EP⊥PF，则·＝||||cos∠MPN>0，·＝0，∴·>·，故C正确； 对于D，－＝，－＝，但向量不能比较大小，故D错误． 12．(2023·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点，且满足·＝0，则·的取值可以是(　　) A．0 B．2 C．4 D．5 答案　AB 解析　以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－1,0)，B(1,0)， C(1,2)，D(－1,2)， 设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 由·＝－(1－x2)＋y2＝0， 得x2＋y2＝1， 即x2－1＝－y2，其中－1<x<1,0<y≤1， 则＝(x－1，y－2)，＝(x＋1，y－2)， 则·＝x2－1＋(y－2)2＝－y2＋(y－2)2＝－4y＋4∈[0,4)． 三、填空题 13．(2023·西安检测)已知i是虚数单位，z＝1＋i－3i2 025，且z的共轭复数为，则z·＝________. 答案　5 解析　因为z＝1＋i－3i2 025＝1＋i－3i＝1－2i， 所以＝1＋2i， 所以z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5. 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别是CD和BC边上的动点，连接EF，交AC于点G，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝，则＝________. 答案　2 解析　依题意，令＝m＝mλ＋mμ，m>0， 因为点E，G，F三点共线， 则mλ＋mμ＝1，而λ＋μ＝， 因此m＝， 即＝， ＝2， 所以＝2. 15．(2023·开封模拟)已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________. 答案　1－i(答案不唯一，虚部为－1即可) 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则|z＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝， |z|＝|a＋bi|＝， ∵|z＋2i|＝|z|， ∴＝， ∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2， 化简得4b＋4＝0，解得b＝－1. ∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)． 16．(2023·郑州模拟)人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1－cos(A，B)．已知P(sin α，cos α)，Q(sin β，cos β)，R(sin α，－cos α)，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则tan αtan β＝________. 答案　7 解析　由已知得＝(sin α，cos α)，＝(sin β，cos β)，＝(sin α，－cos α)， 所以cos(P，Q)＝＝ sin αsin β＋cos αcos β＝cos(α－β)， cos(Q，R)＝＝sin αsin β－cos αcos β＝－cos(α＋β)， 由题意得 所以 则＝＝＝－， 整理得tan αtan β＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $