第五章 必刷小题10 平面向量与复数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题10　平面向量与复数

一、单项选择题

1．(2023·马鞍山模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(2m－1,3)，若a与b共线，则实数m等于(　　)

A.  B．5  C.  D．1

答案　B

解析　由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5.

2．设复数z是纯虚数，若是实数，则等于(　　)

A．－2i  B．－i  C．i  D．2i

答案　D

解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，

所以＝＝＝是实数，

所以2＋b＝0，即b＝－2.

所以z＝－2i，所以＝2i.

3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)   B．(－2,6)

C．(2，－6)   D．(－2，－6)

答案　D

解析　由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，

∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，－6)．

4．(2024·哈尔滨模拟)已知|b|＝，且a·b＝－2，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)

A．－a  B.a  C．－b  D.b

答案　C

解析　向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝|a|··＝·b＝－b.

5．(2023·洛阳模拟)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．x＋y＝0   B．x－y＝0

C．x＝0   D．y＝0

答案　D

解析　设复数z，－i，i在复平面内对应的点分别为Z(x，y)，A(0，－1)，B(0,1)，

则|z＋i|＝|z－i|的几何意义是点Z到点A的距离与点Z到点B的距离相等，

则z在复平面内对应的点(x，y)满足y＝0.

6．(2023·宜春模拟)已知a，b为单位向量，且|2a－b|＝，则a与a＋b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　∵a，b为单位向量，

∴|a|＝|b|＝1，

∴|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝5－4a·b＝7，

解得a·b＝－，

∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1－＝，|a＋b|＝＝＝1，

∴cos〈a，a＋b〉＝＝，

又〈a，a＋b〉∈[0，π]，

∴〈a，a＋b〉＝.

7．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD⊥AB于点D，则(　　)

A.＝＋   B.＝＋

C.＝＋   D.＝＋

答案　A

解析　∵·＝||||cos∠AOB

＝2cos∠AOB＝－1，

∴cos∠AOB＝－，

又∵0°<∠AOB<180°，

∴∠AOB＝120°.

在△AOB中，根据余弦定理可得

AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7，

解得AB＝，

根据三角形面积公式S△AOB＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°，

解得OD＝，

∴AD＝＝，

∴＝，

∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.

8．(2023·长沙模拟)如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．若＝(3,1)，＝(1,3)，则△OMN的面积为(　　)

A.  B．2  C.  D．4

答案　B

解析　设与x轴方向相同的单位向量为e1，与y轴方向相同的单位向量为e2，

则＝3e1＋e2，＝e1＋3e2，＝－＝2e1－2e2，e1·e2＝cos 60°＝，

所以||2＝(2e1－2e2)2＝4e＋4e－8e1·e2＝4，

所以||＝2，

又因为||2＝(3e1＋e2)2＝9e＋e＋6e1·e2＝13，

所以||＝，

||2＝(e1＋3e2)2＝e＋9e＋6e1·e2＝13，