第三章 必刷小题5 导数及其应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题5　导数及其应用 一、单项选择题 1．已知f(x)＝ex＋sin x，则f′(0)等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．0 答案　C 解析　因为f′(x)＝ex＋cos x， 所以f′(0)＝e0＋cos 0＝2. 2．函数f(x)＝(x＋2)ex的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－3) B．(0,3) C．(－3,0) D．(－3，＋∞) 答案　A 解析　f′(x)＝ex＋(x＋2)ex＝(x＋3)ex， 令f′(x)<0，得x<－3， 所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)． 3．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则(　　) A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1 C．a＝－2，b＝1 D．a＝2，b＝－1 答案　B 解析　将x＝1代入3x－y－2＝0，得y＝1， 则f(1)＝1， 即1＋a＋b＝1，① ∵f(x)＝x2＋ax＋b， ∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，② 联立①②，解得a＝1，b＝－1. 4.(2023·重庆联考)如图所示是函数y＝f(x)的图象，其中f′(x)为f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　) A．f′(－2)>f′(1)>f′(3) B．f′(－2)>f′(3)>f′(1) C．f′(3)>f′(1)>f′(－2) D．f′(3)>f′(－2)>f′(1) 答案　A 解析　由已知可得，函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，函数f(x)在x＝1处取得极小值， 所以f′(－2)>0，f′(1)＝0，f′(3)<0， 所以f′(－2)>f′(1)>f′(3)． 5．(2023·开封统考)设函数f(x)＝，若f(x)的极小值为，则a等于(　　) A．－ B. C. D．2 答案　B 解析　由已知得f′(x)＝， 当x<－a或－a<x<1－a时，f′(x)<0， 函数f(x)单调递减； 当x>1－a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， ∴f(x)的极小值为f(1－a)＝e1－a＝，即1－a＝，解得a＝. 6．函数f(x)＝x2＋cos x，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(0，e) B．(e，＋∞) C. D.∪(e，＋∞) 答案　D 解析　f(－x)＝(－x)2＋cos(－x)＝x2＋cos x＝f(x)，且定义域为R，故f(x)为偶函数， 当x>0时，f′(x)＝x－sin x， 设h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0， 则h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则h(x)>h(0)＝0，即f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为f(x)为偶函数，则f(x)在(－∞，0)上单调递减， 则由f(ln x)>f(1)，得|ln x|>1， 即ln x>1或ln x<－1， 解得x∈∪(e，＋∞)． 7．(2023·保定联考)某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料．瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8 cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为(　　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 答案　A 解析　依题意知，每瓶液体材料的利润f(r)＝0.3×πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0<r≤8， 则f′(r)＝0.4πr2(3－r)， 令f′(r)＝0，得r＝3， 当r∈(0,3)时，f′(r)>0， 当r∈(3,8]时，f′(r)<0， 因此函数f(r)在(0,3)上单调递增，在(3,8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值， 所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3. 8．(2023·河源统考)已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则4a＋的最小值为(　　) A．2 B．e＋1 C．4e D．4 答案　C 解析　根据题意作出草图如图所示． 设直线y＝kx与函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex的图象分别相切于点Q和P， 设P(x1，)， Q(x2，aln x2)，f′(x)＝，g′(x)＝bex， 则有和 解得x2＝e，x1＝1， 因为k>0，所以a>0，b>0， 所以k＝be＝，得a＝be2， 则4a＋＝4be2＋≥2＝4e， 当且仅当4be2＝，即b＝时取等号． 即4a＋的最小值为4e. 二、多项选择题 9．下列函数中，存在极值点的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2x2－x＋1 C．y＝xln x D．y＝－2x3－x 答案　ABC 解析　由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1； 对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标x＝； 对于C，函数y＝xln x，y′＝ln x＋1，当x∈时，y′<0，函数单调递减，当x∈时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x在x＝处取得极小值； 对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x是减函数，没有极值点． 10．(2024·运城模拟)下列不等式恒成立的是(　　) A．ex≥x＋1 B．ln x≤x－1 C．sin x≤x D．ex≥2x＋1 答案　AB 解析　对于A，设f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正确； 对于B，设g(x)＝ln x－x＋1，x>0，g′(x)＝－1＝， 当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝0，即ln x≤x－1，故B正确； 对于C，当x＝－时，sin＝－1， 此时sin>－，故C错误； 对于D，当x＝1时，e<2＋1，故D错误． 11．函数f(x)满足f′(x)<f(x)，则下列选项正确的是(　　) A．f(3)<ef(2) B．ef(0)<f(1) C．e2f(－1)>f(1) D．ef(1)<f(2) 答案　AC 解析　令g(x)＝， 则g′(x)＝<0，从而g(x)为减函数， 则>>>>， 即ef(2)>f(3)，e2f(－1)>f(1)， ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2)． 12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 答案　AC 解析　因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)>0得x>或x<－；由f′(x)<0得－<x<.所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确； 因为f(x)的极小值f ＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误； 因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确； 假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1；若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误． 三、填空题 13．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为____________________． 答案　y＝－ 解析　令y＝f(x)＝xex， 则f′(x)＝(1＋x)ex， 令f′(x)＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝－， 所以函数y＝xex在其极值点处的切线方程为 y＝－. 14．若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－e] 解析　由题意知， f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立， 得a≤(－ex)min， 又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减， 所以(－ex)min＝－e， 所以a≤－e. 15．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是________． 答案　(2，＋∞) 解析　根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)， 则y′＝f(x)＋xf′(x)<0， 所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)， 所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)， 所以0<x＋1<x2－1，解得x>2， 所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)． 16．(2023·郑州模拟)若关于x的不等式m≤x有正整数解，则实数m的最小值为____________． 答案　9 解析　因为不等式有正整数解， 所以x>0，于是m≤x转化为 ≥3ln 3，x＝1显然不符合题意； 当x>1时，ln x>0，m>0， 所以≥3ln 3可变形为≥. 令f(x)＝，x>1， 则f′(x)＝， 所以当1<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而2<e<3， 所以当x∈N*时，f(x)max＝max{f(2)，f(3)}＝，故≥，解得m≥9. 学科网（北京）股份有限公司 $