第十章 必刷小题19 计数原理与概率（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题19　计数原理与概率

一、单项选择题

1．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是(　　)

A．15  B．31  C．24  D．23

答案　D

解析　除100元人民币以外的三张人民币中，每张均有取和不取2种情况，

两张100元人民币的取法有不取、取一张和取两张3种情况，

再减去五张人民币全不取的1种情况，所以共有23×3－1＝24－1＝23(种)．

2．(2024·马鞍山模拟)据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如图所示．

如：10记为，26记为，71记为.现有4根算筹，可表示出两位数的个数为(　　)

A．8  B．9  C．10  D．12

答案　C

解析　由题意知，共有4根算筹．

当十位1根，个位3根，共有2个两位数；

当十位2根，个位2根，共有4个两位数；

当十位3根，个位1根，共有2个两位数；

当十位4根，个位0根，共有2个两位数，

所以一共有10个两位数．

3．(2023·桂林模拟)甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)

A．0.32  B．0.56  C．0.44  D．0.68

答案　B

解析　恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个是互斥事件，

根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得P＝0.8×0.6＋0.2×0.4＝0.56.

4．某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有C＝56(种)不同的选取方法，

其中恰有2只花色相同有CC＝24(种)不同的选取方法，所以概率为P＝＝.

5．(2024·海南华侨中学模拟)(2－x)6的展开式中x2的系数为(　　)

A．270  B．240  C．210  D．180

答案　A

解析　(2－x)6的展开式的通项公式为

Tr＋1＝(－1)r26－rCxr，

则原展开式中x2的系数为

(－1)2×24C＋×(－1)4×22C＝270.

6．黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不相等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6,1,8,3,3,9，这六个数字组成了手机的开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为(　　)

A．180  B．210  C．240  D．360

答案　C

解析　先把6,1,8,9排列，然后选两个空档插入3，总方法的个数为AC＝240.

7．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，

则X，Y两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件AB，

所以P(A)＝，P(B)＝，P()＝，

所以P(A∪B)＝1－P()＝，

又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，

所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝.

8．(2023·新余模拟)据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，购买电动汽车的家庭越来越多．某学校为方便驾驶电动汽车的教职工充电，在停车场开展充电桩安装试点．如图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆电动汽车充电．现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域(停车前所有车位都空置)，请问2辆电动汽车能同时充上电的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　记事件E＝“2辆电动汽车能同时充上电”，先从Bi，i∈{1,2,3,4,5,6}中任选一个车位给第一辆电动汽车，有C种选择，再从不与第一辆电动汽车并列的剩余四个车位中找一个给第二辆电动汽车，有C种选择，最后从剩余8个车位中随机选取3个安排燃油车即可，所以P(E)＝＝.

二、多项选择题

9．已知事件A，B满足P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是(　　)

A．P()＝0.8，P()＝0.4

B．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.6

C．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.8

D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.32

答案　BCD

解析　对于选项A，P()＝1－P(A)＝0.4，P()＝1－P(B)＝0.8，故选项A错误；

对于选项B，如果B⊆A，那么P(A∪B)＝P(A)＝0.6，选项B正确；

对于选项C，如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以选项C正确；

对于选项D，如果A与B相互独立，那么P()＝P()P()＝0.4×0.8＝0.32，所以选项D正确．

10．一个袋子中有3个红球，m个黑球，采用不放回方式从中依次取球，每次取1个，每个