6.3.2 第1课时 二项式系数的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.3.2 第1课时 二项式系数的性质 [课时跟踪检测] 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为 （　　） A.10 B.9 C.8 D.7 解析：选A　展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10. 2.在（1+x）12展开式中，系数最大的项是 （　　） A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 解析：选D　因为（1+x）12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以（1+x）12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大. 3.若（1+x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= （　　） A.1 B.513 C.512 D.511 解析：选D　令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512，所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D. 4.已知（3-x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0-a1+a2+…+（-1）nan= （　　） A.32 B.64 C.128 D.256 解析：选D　由题意可得=，所以n=4.令x=-1，则（3-x）n=（3+1）4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+（-1）nan=256. 5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为 （　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析：选B　的展开式的通项为Tk+1=（）n-k·=·2k·，则T3=·22·，其系数为4.倒数第3项为Tn-1=·2n-2·x5-2n，其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4，则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 6.已知（mx-1）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　由题意，令x=0，得a0=1，令x=1，得（m-1）8=a0+a1+a2+…+a8，所以a1+a2+…+a8=（m-1）8-1，由（m-1）8-1=255，解得m=3或m=-1，所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B. 7.已知（1+x）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个递增数列，则k的最大值为 （　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选C　（1+x）10的展开式的通项是Tk+1=110-kxk=xk，则a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，a7=，a8=，a9=，a10=，a11=，根据组合数性质，，，，，，依次递增，，，，，，依次递减，因此，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个递增数列，则k的最大值为6. 8.若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为 （　　） A.840 B.-252 C.-210 D.210 解析：选A　因为二项式系数只有第6项最大，故n=10，又二项展开式的通项为Tr+1=（-2x-2）r=·（-2）rx30-5r（0≤r≤10，r∈N），令30-5r=0，则r=6，故T7=（-2）6=840. 9.已知（2x-1）k（k∈N*）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则x2项的系数为 （　　） A.16 B.-32 C.24 D.-8 解析：选C　因为（2x-1）k（k∈N*）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以k=4.又因为二项展开式的通项为Tr+1=·（2x）4-r·（-1）r，令4-r=2，得r=2，所以x2项的系数为×24-2×（-1）2=24. 10.[多选]已知（1-2x）2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025，则 （　　） A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025 B.展开式中所有奇数项系数的和为 C.展开式中所有偶数项系数的和为 D.+++…+=-1 解析：选ABD　对于A，展开式中所有项的二项式系数之和为22 025，故A正确； 对于B，令x=-1，得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025，① 令x=1，得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025，② ①+②，得32 025-1=2（a0+a2+…+a2 024）， ∴a0+a2+…+a2 024=，故B正确； 对于C，①-②，得32 025+1=-2（a1+a3+…+a2 025）， ∴a1+a3+…+a2 025=-，故C错误； 对于D，令x=0，得a0=1，令x=，得0=a0++++…+， ∴+++…+=-1，故D正确. 11.（5分）（x2+1）（x-2）9=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+a11（x-1）11，则a1+a2+a3+…+a11的值为　　　　　.  解析：令x=1，得a0=-2.令x=2，得a0+a1+a2+…+a11=0.所以a1+a2+a3+…+a11=2. 答案：2 12.（5分）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为　　　　.  解析：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即+1=6，所以n=10， 所以T4=（）7·=120. 答案：120 13.（5分）已知（2x-1）n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=　　　　.  解析：设（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn， 且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知可知，B-A=38. 令x=-1， 得a0-a1+a2-a3+…+（-1）nan=（-3）n， 即（a0+a2+a4+a6+…）-（a1+a3+a5+a7+…）=（-3）n，则B-A=（-3）n， ∴（-3）n=38=（-3）8，∴n=8. 由二项式系数的性质，得 +++…+=2n-=28-1=255. 答案：255 14.（10分）已知（+3x2）n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（5分） （2）求展开式中系数最大的项.（5分） 解：（1）令x=1，则展开式中各项系数的和为（1+3）n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n， 所以22n-2n=992，解得n=5. 所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T3=（）3（3x2）2=90x6， T4=（）2（3x2）3=270. （2）设展开式中第r+1项系数最大， 则Tr+1=（）5-r（3x2）r=3r， 所以⇒≤r≤. 又r∈N，所以r=4. 即展开式中第5项系数最大， T5=（）（3x2）4=405. 15.（15分）已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值；（4分） （2）展开式中是否存在常数项?若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由；（6分） （3）求展开式中二项式系数最大的项.（5分） 解：（1）由题意，得++=16， 即1+n+=16. 解得n=5或n=-6（舍去），所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1， 所以（a-1）5=1，解得a=2. （2）不存在.理由如下： 因为=， 所以Tk+1=（2x）5-k =（-1）k25-k. 令5-=0，解得k=∉N， 所以展开式中不存在常数项. （3）由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=（-1）2·25-2x5-3=80x2， T4=（-1）3·25-3=-40. 学科网（北京）股份有限公司 $