6.3.2 第1课时 二项式系数的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.3.2 第1课时 二项式系数的性质

 [课时跟踪检测]

 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为 （　　）

A.10 B.9

C.8 D.7

解析：选A　展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10.

2.在（1+x）12展开式中，系数最大的项是 （　　）

A.第5，6项 B.第6，7项

C.第6项 D.第7项

解析：选D　因为（1+x）12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以（1+x）12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大.

3.若（1+x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= （　　）

A.1 B.513

C.512 D.511

解析：选D　令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512，所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D.

4.已知（3-x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0-a1+a2+…+（-1）nan=              （　　）

A.32 B.64

C.128 D.256

解析：选D　由题意可得=，所以n=4.令x=-1，则（3-x）n=（3+1）4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+（-1）nan=256.

5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为              （　　）

A.第3项 B.第4项

C.第5项 D.第6项

解析：选B　的展开式的通项为Tk+1=（）n-k·=·2k·，则T3=·22·，其系数为4.倒数第3项为Tn-1=·2n-2·x5-2n，其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4，则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项.

6.已知（mx-1）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的 （　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：选B　由题意，令x=0，得a0=1，令x=1，得（m-1）8=a0+a1+a2+…+a8，所以a1+a2+…+a8=（m-1）8-1，由（m-1）8-1=255，解得m=3或m=-1，所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B.

7.已知（1+x）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个递增数列，则k的最大值为              （　　）

A.4  B.5

C.6  D.7

解析：选C　（1+x）10的展开式的通项是Tk+1=110-kxk=xk，则a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，a7=，a8=，a9=，a10=，a11=，根据组合数性质，，，，，，依次递增，，，，，，依次递减，因此，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个递增数列，则k的最大值为6.

8.若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为 （　　）

A.840 B.-252

C.-210 D.210

解析：选A　因为二项式系数只有第6项最大，故n=10，又二项展开式的通项为Tr+1=（-2x-2）r=·（-2）rx30-5r（0≤r≤10，r∈N），令30-5r=0，则r=6，故T7=（-2）6=840.

9.已知（2x-1）k（k∈N*）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则x2项的系数为              （　　）