8.2 第1课时 一元线性回归模型及其应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

8.2 第1课时 一元线性回归模型及其应用 [课时跟踪检测] 1.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的R2如下，其中拟合效果最好的模型是 （　　） 模型 模型1 模型2 模型3 模型4 R2 0.98 0.80 0.50 0.25 A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 解析：选A　决定系数R2=0.98最大，拟合效果最好. 2.在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y关于x的经验回归方程为 （　　） A.=x+1 B.=x+2 C.=2x+1 D.=x-1 解析：选A　易求=2.5，=3.5，且=1，所以=3.5-1×2.5=1，因此经验回归方程为=x+1. 3.两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示： x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 8 6 5 其经验回归方程是=x+40，则相对应于点（11，5）的残差为 （　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析：选B　由于=x+40过样本中心点（10，8），所以8=10+40，则=-3.2，因此=-3.2x+40.当x=11时，=-3.2×11+40=4.8，所以残差=5-=5-4.8=0.2. 4.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归方程=x+，对应的残差如图所示，模型误差 （　　） A.满足一元线性回归模型的所有假设 B.满足回归模型E（e）=0的假设 C.满足回归模型D（e）=σ2的假设 D.不满足回归模型E（e）=0和D（e）=σ2的假设 解析：选D　由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线，且不满足D（e）=σ2. 5.[多选]已知变量x，y之间的经验回归方程为=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是 （　　） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A.变量x，y之间呈负相关关系 B.m=4 C.可以预测，当x=11时，y约为2.6 D.由表格数据知，该经验回归直线必过点（9，4） 解析：选ACD　由=-0.7x+10.3，得=-0.7，故x，y呈负相关关系，则A正确.==9，=-0.7×9+10.3=4=，解得m=5，B错误.当x=11时，y的预测值为2.6，故C正确.=9，=4，故经验回归直线必过点（9，4），则D正确. 6.为了研究某班学生的听力成绩x（单位：分）与笔试成绩y（单位：分）的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系，设其经验回归方程为=x+，已知xi=400，yi=1 580，=-1，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为 （　　） A.99 B.101 C.103 D.105 解析：选C　xi=400，故==20；yi=1 580，故==79，故点（20，79）在经验回归直线上，即79=20-1，得=4，即=4x-1，当x=26时，代入计算得到=103. 7.[多选]设（x1，y1），（x2，y2），…，（x2 024，y2 024）是变量x和y的2 024个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论正确的是 （　　） A.直线l过点（，） B.直线l过点（x1 012，y1 012） C.x和y的样本相关系数在区间[-1，0）上 D.因为2 024是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同 解析：选AC　经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，故A正确，B错误；由题图可知x和y的样本相关系数在区间[-1，0）上，故C正确；不能因为2 024是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，故D错误. 8.[多选]已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次试验.试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经验回归方程为=3x+4.5，且=4，又增加了2次试验，得到2个数据点（2，11），（6，22），根据这10个数据点重新求得经验回归方程为=mx+n（其中m，n∈R），则 （　　） A.变量y与x正相关 B.m<3 C.n<4.5 D.经验回归直线=mx+n经过点（4，16.5） 解析：选ABD　设A（2，11），B（6，22），由kAB=<3，而8个数据点的经验回归方程中=3，∴0<m<3，A、B正确；而10个数据点的'==4，==16.5，∴经验回归直线过定点（4，16.5），则16.5=4m+n，n=16.5-4m，0<m<3，0<4m<12，-12<-4m<0，4.5<16.5-4m<16.5，即4.5<n<16.5.∴D正确，C错误. 9.（5分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：h）与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为　　　　，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为　　　　.  解析：===0.5，==3.由公式得=0.01，从而=-=0.5-0.01×3=0.47，所以经验回归方程为=0.47+0.01x，所以当x=6时，=0.47+0.01×6=0.53. 答案：0.5　0.53 10.（5分）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示： x 3 4 6 7 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为=0.7x+.据此计算出在样本（4，3）处的残差为-0.15，则表中m的值为　　　　.  解析：根据样本（4，3）处的残差为-0.15，即3-（0.7×4+）=-0.15，可得=0.35，故经验回归方程为=0.7x+0.35，又由样本数据的平均数为==5，=，所以0.7×5+0.35=，解得m=5.9. 答案：5.9 11.（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80，yi=20，xiyi=184，=720. （1）求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归方程=x+；（4分） （2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3分） （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（3分） 解：（1）由题意，知n=10，=xi==8， =yi==2， 又-10=720-10×82=80， xiyi-10　=184-10×8×2=24，则==0.3，=-=2-0.3×8=-0.4， 故所求经验回归方程为=0.3x-0.4. （2）由于变量y的值随x值的增加而增加（=0.3>0），故x与y之间是正相关. （3）将x=7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0.3×7-0.4=1.7（千元）. 12.（15分）假设关于某设备的使用年限x（单位：年）和支出的维修费用y（单位：万元），有如表的统计资料： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，试求： （1）经验回归方程=x+；（5分） （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少?（3分） （3）计算残差平方和；（4分） （4）求R2并说明模型的拟合效果.（3分） 参考数据： xiyi=112.3，（yi-）2=15.78. 解：（1）由统计表格，易知=4，=5，=90. 又xiyi=112.3.设经验回归方程为=x+， （2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38， 估计使用年限为10年时维修费用是12.38万元. （3）因为=2.46+0.08=2.54， =3.77，=5，=6.23，=7.46， 所以残差平方和（yi-）2=0.651. 学科网（北京）股份有限公司 $