6.3.1 二项式定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.3.1　二项式定理

[课时跟踪检测]

1.（x-1）12的展开式的第8项的系数是 （　　）

A.- B.

C.- D.

解析：选C　由题意得Tk+1=x12-k（-1）k（k=0，1，2，…，12），令k=7，得T8=x5（-1）7=-x5，所以（x-1）12的展开式的第8项的系数是-.故选C.

2.在的二项展开式中，x的系数为 （　　）

A.10 B.-10

C.40 D.-40

解析：选D　Tr+1=（2x2）5-r=（-1）r·25-rx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系数为（-1）325-3=-40.

3.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 （　　）

A.3项 B.4项

C.5项 D.6项

解析：选C　Tk+1=··=·，则k=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数是整数的项共有5项.

4.的展开式中含x3的项的系数为 （　　）

A.20 B.-20

C.40 D.-40

解析：选B　的展开式的通项为Tk+1=（4x2）5-k=45-k，令10-k=3，解得k=3，则含x3的项的系数为45-3=-20.

5.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为 （　　）

A.4 B.5

C.6 D.7

解析：选B　Tk+1=（3x2）n-k=3n-k·x2n-5k，令2n-5k=0，∴n=k.∴正整数n的最小值为5.

6.已知（其中a>0）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有 （　　）

A.6项 B.5项

C.4项 D.3项

解析：选D　展开式的第7项为T7=（x2）n-6·=（-a）6x2n-14，由题意，得2n-14=0，（-a）6=7（a>0），所以n=7，a=1，则展开式的通项为Tk+1=（-1）kx14-2k=（-1）k，k=0，1，2，…，7，令∈Z，则k=0，3，6，所以展开式中的有理项共有3项.

7.已知的展开式中x2的系数为15，则x7的系数为 （　　）

A.420 B.640

C.720 D.960

解析：选D　由展开式的通项为Tk+1=（ax2）6-k=（-1）k·a6-k·2-k，令12-=2，解得k=4，则x2的系数（-1）4·a2·2-4=a2=15，所以a2=16.令12-=7，解得k=2，则x7项的系数为（-1）2·a4·2-2=960.

8.对任意实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为 （　　）

A.3 B.6

C.9 D.21

解析：选B　∵x3=（x-2+2）3=（x-2）3+（x-2）2×2+（x-2）×22+×23=8+12（x-2）+6（x-2）2+（x-2）3，∴a2=6.

9.[多选]已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则 （　　）

A.n=10

B.展开式中项数共有13项

C.含x2的项的系数为

D.展开式中有理项的项数为3