6.3.1 二项式定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.3.1　二项式定理 [课时跟踪检测] 1.（x-1）12的展开式的第8项的系数是 （　　） A.- B. C.- D. 解析：选C　由题意得Tk+1=x12-k（-1）k（k=0，1，2，…，12），令k=7，得T8=x5（-1）7=-x5，所以（x-1）12的展开式的第8项的系数是-.故选C. 2.在的二项展开式中，x的系数为 （　　） A.10 B.-10 C.40 D.-40 解析：选D　Tr+1=（2x2）5-r=（-1）r·25-rx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系数为（-1）325-3=-40. 3.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 （　　） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 解析：选C　Tk+1=··=·，则k=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数是整数的项共有5项. 4.的展开式中含x3的项的系数为 （　　） A.20 B.-20 C.40 D.-40 解析：选B　的展开式的通项为Tk+1=（4x2）5-k=45-k，令10-k=3，解得k=3，则含x3的项的系数为45-3=-20. 5.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为 （　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选B　Tk+1=（3x2）n-k=3n-k·x2n-5k，令2n-5k=0，∴n=k.∴正整数n的最小值为5. 6.已知（其中a>0）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有 （　　） A.6项 B.5项 C.4项 D.3项 解析：选D　展开式的第7项为T7=（x2）n-6·=（-a）6x2n-14，由题意，得2n-14=0，（-a）6=7（a>0），所以n=7，a=1，则展开式的通项为Tk+1=（-1）kx14-2k=（-1）k，k=0，1，2，…，7，令∈Z，则k=0，3，6，所以展开式中的有理项共有3项. 7.已知的展开式中x2的系数为15，则x7的系数为 （　　） A.420 B.640 C.720 D.960 解析：选D　由展开式的通项为Tk+1=（ax2）6-k=（-1）k·a6-k·2-k，令12-=2，解得k=4，则x2的系数（-1）4·a2·2-4=a2=15，所以a2=16.令12-=7，解得k=2，则x7项的系数为（-1）2·a4·2-2=960. 8.对任意实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为 （　　） A.3 B.6 C.9 D.21 解析：选B　∵x3=（x-2+2）3=（x-2）3+（x-2）2×2+（x-2）×22+×23=8+12（x-2）+6（x-2）2+（x-2）3，∴a2=6. 9.[多选]已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则 （　　） A.n=10 B.展开式中项数共有13项 C.含x2的项的系数为 D.展开式中有理项的项数为3 解析：选ACD　依题意，展开式的通项为Tr+1=··=··，因为第6项为常数项， 所以当r=5时，有=0，解得n=10，故A正确；由n=10，得展开式中项数共有10+1=11项，故B错误；令=2，得r=（n-6）=×（10-6）=2，所求含x2项的系数为×=，故C正确；由令=k，则10-2r=3k，即r=5-k.因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2，0，-2，即r可以取2，5，8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确. 10.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选A　在二项式展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6.则即，通项为Tr+1=··，r=0，1，2，…，6，故展开式共有7项，当r=0，4时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其他的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种，故有理项都互不相邻的概率为P==. 11.（5分）+2+22+…+2n=　　　.  解析：原式=20+21+22+…+2n=（1+2）n=3n. 答案：3n 12.（5分）（2024·天津高考）在的展开式中，常数项为　　　　.  解析：展开式的通项Tk+1==·36-2k·x6k-18.令6k-18=0，则k=3，所以常数项为T4=·30·x0=20. 答案：20 13.（5分）“算两次”是一种重要的数学方法，也称作富比尼（G.Fubini）原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”.由等式（1+x）2n=（1+x）n（x+1）n，n∈N*，n≥2，利用“算两次”原理可得（）2+（）2+（）2+…+（）2+（）2=　　　　　　.（结果用组合数表示）  解析：因为（1+x）n（x+1）n=（+x+x2+…+xn）（xn+xn-1+xn-2+…+），因此（）2+（）2+（）2+…+（）2+（）2是展开式中xn项的系数，而（1+x）2n的展开式中xn项的系数为，所以（）2+（）2+（）2+…+（）2+（）2=. 答案： 14.（10分）已知（n∈N*）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29. （1）求n的值；（5分） （2）若展开式中x4的系数为56，求实数a的值.（5分） 解：（1）由题设，++=29，即1+n+=29，整理得n2+n-56=0， 解得n=-8或n=7， 因为n∈N*，所以n=7. （2）由（1）知，二项展开式通项为Tr+1=（ax-2）7-rxr=a7-rx-14+3r. 令-14+3r=4，得r=6，则T7=ax4=7ax4， 又展开式中x4的系数为56，则7a=56，得a=8. 15.（10分）已知二项式. （1）求展开式的第4项；（3分） （2）求展开式中的有理项；（4分） （3）求展开式中的常数项.（3分） 解：（1）的二项展开式通项是Tk+1==36-kx-k=36-k（k=0，1，2，…，6）.当k=3时，展开式的第4项为T4==-160. （2）由（1）知 的二项展开式通项是36-k，有理项是使变量的指数为整数的项，故只需3-∈Z，且k=0，1，2，…，6，解得k=0，2，4，6，因此有理项分别为T1=36=729x3，T3=x0=540，T5=32x-3=，T7=30x-6=. （3）由（1）知 的二项展开式通项是36-k（k=0，1，2，…，6），常数项即为变量的指数为0的项，令3-=0，解得k=2，因此常数项为T3=34x0=540. 学科网（北京）股份有限公司 $