8.3 列联表与独立性检验 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

8.3　列联表与独立性检验 [课时跟踪检测] 1.观察如图所示的等高堆积条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间有关系的是 （　　） 解析：选D　在等高堆积条形图中，x1，x2所占比例相差越大，分类变量x，y有关系的把握越大，故答案为D. 2.某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 单位：名 项目 每年体检 每年未体检 合计 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名，则对列联表中数据的分析错误的是 （　　） A.a=18 B.b=19 C.c+d=50 D.e-f=2 解析：选D　由题意得，a+7=c=25，6+b=d=25，c+d=50，a+6=e，7+b=f，e+f=50，所以a=18，b=19，e=24， f=26，所以e-f=-2.故选D. 3.在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列说法正确的是 （　　） A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾 B.1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾 C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人 D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有 解析：选D　这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”.这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知，答案应选D. 4.[多选]某学校对“学生性别和喜欢短视频APP是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢短视频APP的人数占男生人数的，女生喜欢短视频APP的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢短视频APP和性别有关，则被调查的男生人数可能为 （　　） 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.50 B.45 C.40 D.35 解析：选AB　设男生有x人，则女生也有x人，2×2列联表如下： 单位：人 项目 喜欢短视频APP 不喜欢短视频APP 合计 男生 x x x 女生 x x x 合计 x x 2x 由题意得χ2==x>3.841， 解得x>40.330 5， 易知x>0且x是5的倍数，结合选项可知被调查的男生人数为45或50.故选AB. 5.（5分）独立性检验所采用的思路是：要研究X和Y两个分类变量彼此相关，首先假设这两个分类变量彼此　　　　，在此假设下构造随机变量χ2.如果χ2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设　　　　.  解析：独立性检验的前提是假设两个分类变量无关系，然后通过随机变量χ2的值来判断假设是否成立. 答案：无关系　不成立 6.（5分）某大学餐饮中心对全校一年级新生的饮食习惯进行抽样调查，调查结果如下：南方学生喜欢甜品的有60人，不喜欢甜品的有20人；北方学生喜欢甜品的有10人，不喜欢甜品的有10人.那么至少有　　　　%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.  附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解析：由题意得，2×2列联表如下： 单位：人 项目 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 χ2=≈4.762>3.841，所以至少有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. 答案：95 7.（10分）某调查机构为了解国庆节通过短视频APP或微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个表达了祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计，这200人中通过微博表达对祖国祝福的有160人.将这160人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a的值并估计这160人的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3分） （2）若把年龄在第1，2，3组的人称为青年人，年龄在第4，5组的人称为中年人，已知选出的200人中通过短视频APP表达对祖国祝福的中年人有26人，依据α=0.010的独立性检验，能否认为是否通过微博表达对祖国的祝福与年龄有关?（7分） 解：（1）由10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）=1，解得a=0.035， 这160人的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5（岁）. （2）题图中，前3组的人数为10×（0.01+0.015+0.035）×160=96. 由题可得，2×2列联表如下： 单位：人 项目 通过短视频APP表达祝福 通过微博表达祝福 合计 青年人 14 96 110 中年人 26 64 90 合计 40 160 200 零假设H0：是否通过微博表达对祖国的祝福与年龄无关. χ2=≈8.081>6.635=x0.010， 所以根据小概率值α=0.010的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，即认为是否通过微博表达对祖国的祝福与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.010. 8.（15分）某校组织学生观看“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女生比例为3∶2. （1）求m，n的值；（3分） （2）完成以下表格，根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“学生性别和是否有‘飞天宇航梦’有关”?（4分） 单位：人 项目 有“飞天宇航梦” 无“飞天宇航梦” 合计 男生 女生 合计 （3）在抽取的样本女生中，按有无“飞天宇航梦”用分层随机抽样的方法抽取5人，若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有“飞天宇航梦”的女生人数X的分布列及数学期望.（8分） 解：（1）由题意得，被调查的学生中，男生有600人，女生有400人， 所以男生中有“飞天宇航梦”的人数为600×0.7=420，无“飞天宇航梦”的人数为600×0.3=180， 女生中有“飞天宇航梦”的人数为400×0.6=240，无“飞天宇航梦”的人数为400×0.4=160， 所以m==，n==. （2）2×2列联表如下： 单位：人 项目 有“飞天宇航梦” 无“飞天宇航梦” 合计 男生 420 180 600 女生 240 160 400 合计 660 340 1 000 零假设H0：学生性别和是否有“飞天宇航梦”无关. χ2==≈10.695<10.828=x0.001， 所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为“学生性别和是否有‘飞天宇航梦’无关”. （3）由题意得，在抽取的5名女生中，有3名有“飞天宇航梦”，有2名无“飞天宇航梦”. X的可能取值为1，2，3， P（X=1）==，P（X=2）==， P（X=3）==， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P E（X）=1×+2×+3×=. 学科网（北京）股份有限公司 $