第四章 必刷小题8 解三角形（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题8　解三角形

一、单项选择题

1．在△ABC中，sin A＝，AC＝，B＝45°，则BC等于(　　)

A．2  B.  C．2  D．2

答案　D

解析　由正弦定理知，＝，

∴BC＝＝＝2.

2．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcos C，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形   B．钝角三角形

C．直角三角形   D．等腰三角形

答案　C

解析　由余弦定理得cos C＝，

将其代入a＝bcos C，

得a＝b·＝，

∴2a2＝a2＋b2－c2，

∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形．

3．(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cos C＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵9sin2B＝4sin2A，

∴9b2＝4a2，即b＝，

∵cos C＝＝＝，

∴2＝，

则＝.

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C，则C等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C，

所以由正弦定理得a2＋b(b＋a)＝c2，

化简得a2＋b2－c2＝－ab，

所以由余弦定理得cos C＝

＝＝－，

因为C∈(0，π)，所以C＝.

5．(2023·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，＝，则△ABC的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　在△ABC中，由正弦定理得

＝＝，

所以＝＝，

则a＝sin A＝sin 60°＝×＝1，

又b＝1，A＝60°，

所以△ABC是正三角形，

所以△ABC的面积S△ABC＝absin 60°＝.

6．(2023·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于(　　)

A．30 m   B．20 m

C．30 m   D．20 m

答案　D

解析　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，

由正弦定理＝，

可得＝，

可得CB＝20×＝20(m)，

在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，

所以塔高AB＝BC＝20 m.

7．(2023·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

答案　A

解析　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，