第四章 §4.10 解三角形中的最值与范围问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§4.10　解三角形中的最值与范围问题 重点解读　解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解　(1)因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos(A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝. 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B， 所以sin＝sin B，且0<A＋B<， 所以0<B<，0<－(A＋B)<， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝4cos2B＋－5 ≥2－5＝4－5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 思维升华　求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系． (1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤2，即可求得b＋c的最值． 跟踪训练1　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得 ＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin. 又0<B<， 所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值， 为3＋2. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2 (2023·佛山模拟)已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 解　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)， 所以cos A－sin A＝cos B－sin B， 即cos＝cos， 又A∈，B∈， 所以<A＋<，<B＋<， 所以A＋＝B＋，即B＝A＋， 又A＋B＋C＝π，C＝， 所以A＋A＋＋＝π，即A＝. (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A， 又∠ABC＝A＋， 可得∠DBC＝， 在△DBC中，＝， 所以CD＝＝， 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以<2A＋<，<sin<1， 所以∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)． 思维升华　三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 跟踪训练2 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A－a＝0. (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． 解　(1)由2bsin A＝a，结合正弦定理可得 2sin Bsin A＝sin A，∴sin B＝， 又△ABC为锐角三角形，故B＝. (2)cos A＋cos B＋cos C＝cos A＋＋cos ＝cos A－cos A＋sin A＋ ＝sin A＋cos A＋ ＝sin＋. 由可得<A<，<A＋<， 则sin∈， sin＋∈. 即cos A＋cos B＋cos C的取值范围是. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)若A＝，求B； (2)若asin C＝1，求＋的最大值． 解　(1)由题意知＝， 所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B， 所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C ＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B， 所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B， 因为A＝，所以sin Bcos C＝sin Ccos B， 所以tan B＝tan C， 因为B，C∈，所以B＝C， 由A＝，所以B＝. (2)由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c， 因为asin C＝1，所以＝sin C， 由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1， 所以＝sin A， 因为A＝π－B－C＝π－2C， 所以＝sin A＝sin 2C， 所以＋＝sin2C＋sin22C＝＋(1－cos22C)＝－cos22C－cos 2C＋， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝C， 则有<C<，得<2C<π， 所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时，＋取得最大值，所以＋的最大值为. 思维升华　解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解． 跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－ sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解　(1)∵cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0， ∴－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0， 即－cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B－sin Acos B＝0， ∵sin A≠0，∴tan B＝，∴B＝. (2)由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B， ∴b2＝a2＋c2－ac， 又a＋c＝1，∴c＝1－a，且a∈(0,1)， 故b2＝a2＋(1－a)2－a(1－a)＝3a2－3a＋1 ＝32＋. ∵0<a<1，∴≤b2<1， 又b>0，∴≤b<1， 故b的取值范围是. 课时精练 一、单项选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，则A的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为sin B＋sin C＝2sin A，则由正弦定理得b＋c＝2a. 则cos A＝＝ ＝≥＝， 当且仅当b＝c时，等号成立， 又A∈(0，π)， 所以A的最大值为. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，a＝4，且三角形有两解，则b的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(2，4) C．(0,4) D．(4,3) 答案　B 解析　由题意，△ABC有两解需满足asin B<b<a，即2<b<4. 3．(2023·襄阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若c2＝6S，则的最小值为(　　) A. B. C．1 D.－3 答案　B 解析　∵c2＝6S，∴c2＝6×absin C＝3absin C， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得a2＋b2－2abcos C＝3absin C， 即a2＋b2＝2abcos C＋3absin C， 两边同除以ab得＋＝2cos C＋3sin C ＝sin(C＋φ)≤，其中tan φ＝， 设＝x，x>0，即0<x＋≤， ∴≤x≤， ∴的最小值为. 4．(2023·江西师大附中模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝4，sin∠ABC＝2sin∠BAC，M为AB的中点，则cos∠BMC的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在△ABC中， 由sin∠ABC＝2sin∠BAC及正弦定理得b＝2a，而M为AB的中点，c＝4， 在△ACM，△BCM中，由余弦定理得 整理得CM2＝＝， 2c·CMcos∠BMC＝3a2，即有a2>且∠BMC为锐角， cos∠BMC＝＝＝， 当＝，即a＝时，(cos∠BMC)min＝. 二、多项选择题 5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，则下列说法正确的是(　　) A．C＝ B．若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6 D．若b＝3，c＝2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B， ∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2， 即a2＋b2－c2＝ab， 对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C＝＝， ∵0<C<π，∴C＝，故A错误； 对于B选项，由题可知absin C＝ab＝， ∴ab＝4， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4， ∴c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4， ∵ab≤，∴≤4， ∴a＋b≤4，当a＝b时等号成立， ∵c＝2，∴a＋b>2，∴4<a＋b＋c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即8＝a2＋9－3a，即a2－3a＋1＝0， 解得a＝， 则满足条件的△ABC有2个，故D错误． 6．(2023·长春模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c－ 2bcos A，则(　　) A．A＝2B B．B的取值范围是 C．若b＝3，c＝4，则a＝ D.的取值范围是(，) 答案　ACD 解析　对于A，在△ABC中，由正弦定理，b＝c－2bcos A可化为sin B＝sin C－2sin Bcos A. 因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)， 所以sin C＝sin Acos B＋sin Bcos A， 所以sin B＝sin(A－B)． 所以B＝A－B，即A＝2B，或B＋A－B＝π，即A＝π， 这与A为△ABC的内角相矛盾，舍去．故A＝2B，故A正确； 对于B，因为△ABC为锐角三角形， 所以所以 解得<B<，故B错误； 对于C，因为A＝2B，由正弦定理得＝， 即＝，所以cos B＝. 因为b＝3，c＝4， 由余弦定理的推论得cos B＝， 所以cos B＝＝， 即＝，即a2＝21， 解得a＝(a＝－舍去)，故C正确； 对于D，由正弦定理，得 ＝＝＝2cos B. 因为<B<，所以<cos B<， 所以<2cos B<， 即的取值范围是(，)，故D正确． 三、填空题 7．(2023·九江模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin A＝2sin B cos C，a＝1，则角A的最大值是________． 答案　 解析　方法一　∵3sin A＝2sin Bcos C， 由正弦定理得3a＝2bcos C，① 由余弦定理的推论得cos C＝，② ①②联立可得b2－c2＝2a2， 而cos A＝， 消去a2可得cos A＝＝≥， 当且仅当b＝c时取等号． ∵y＝cos x在(0，π)上单调递减， ∴Amax＝. 方法二　∵sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 又3sin A＝2sin Bcos C， ∴cos C>0，C为锐角，且sin Bcos C＋3cos Bsin C＝0， 即tan B＝－3tan C，∴B为钝角，A为锐角， 而tan A＝－tan(B＋C)＝－＝＝≤， ∵y＝tan x在上单调递增， ∴Amax＝. 8．(2023·扬州模拟)在△ABC中，AB＝4，B＝，A∈，则·的取值范围是__________． 答案　(0,12] 解析　根据正弦定理得＝， 即＝， ∴AC＝＝， ·＝||||cos A＝4·AC·cos A ＝＝， ∵A∈，∴tan A∈， ∴tan A＋∈， ∴0<·≤12， 即·的取值范围是(0,12]． 四、解答题 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin＝a＋c. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围． 解　(1)因为2bsin＝a＋c， 由正弦定理可得 2sin Bsin＝sin A＋sin C， 即2sin B＝sin A＋sin(A＋B)， 整理得sin Bsin A＝sin A＋cos Bsin A， 又A∈(0，π)，所以sin A≠0， 所以sin B－cos B＝1， 即sin＝， 又B∈(0，π)，所以B－∈， 所以B－＝，即B＝. (2)由(1)知B＝，又b＝2， 由正弦定理，得＝＝＝， 所以a＝sin A，c＝sin C， 所以a＋c＝(sin A＋sin C) ＝ ＝＝4sin， 在锐角△ABC中， ⇒<A<，则<A＋<， 所以<sin≤1， 则2<a＋c≤4， 故△ABC的周长的取值范围为(2＋2,6]． 10．(2023·绵阳模拟)在斜三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos(C－B)sin A＝cos(C－A)sin B. (1)证明：A＝B； (2)若＝sin B，求－的最小值． (1)证明　在△ABC中，A＋B＋C＝π， cos(C－B)sin A＝cos(C－A)sin B， ∴(cos Ccos B＋sin Csin B)sin A＝(cos Ccos A＋sin Csin A)sin B， ∴cos Ccos Bsin A＝cos Ccos Asin B， 又∵△ABC为斜三角形，则cos C≠0， ∴cos Bsin A＝cos Asin B，∴sin(A－B)＝0， ∵A，B为△ABC的内角，∴A＝B. (2)解　由题意及(1)得， A＝B，a＝b，△ABC是等腰三角形， 由正弦定理＝，得＝， 又＝sin B，即csin B＝1， ∴＝＝sin C＝sin(A＋B)＝sin 2B， ∴－＝sin2B－sin22B＝sin2B－4cos2Bsin2B＝sin2B－4(1－sin2B)sin2B， 令sin2B＝t，则f(t)＝t－4(1－t)t＝4t2－3t， 又∵0<sin2B<1，即0<t<1， ∴当t＝时，f(t)取最小值，且f(t)min＝－， ∴－的最小值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $