第四章 §4.10 解三角形中的最值与范围问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§4.10　解三角形中的最值与范围问题

重点解读　解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系．

题型一　利用基本不等式求最值(范围)

例1 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.

(1)若C＝，求B；

(2)求的最小值．

解　(1)因为＝，

所以＝，

所以＝，

所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，

所以cos(A＋B)＝sin B，

所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.

因为B∈，所以B＝.

(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，

所以sin＝sin B，且0<A＋B<，

所以0<B<，0<－(A＋B)<，

所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，

由正弦定理得＝

＝＝

＝＝

＝＝4cos2B＋－5

≥2－5＝4－5，

当且仅当cos2B＝时取等号，

所以的最小值为4－5.

思维升华　求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法

在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系．

(1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值．

(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤2，即可求得b＋c的最值．

跟踪训练1　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.

(1)求A；

(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解　(1)由正弦定理和已知条件得

BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①

由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②

由①②得cos A＝－.

因为0<A<π，所以A＝.

(2)由正弦定理及(1)得

＝＝＝2，

从而AC＝2sin B，

AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.

故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B

＝3＋2sin.

又0<B<，

所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值，

为3＋2.

题型二　转化为三角函数求最值(范围)

例2 (2023·佛山模拟)已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)．

(1)若C＝，求A；

(2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．

解　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)，

所以cos A－sin A＝cos B－sin B，

即cos＝cos，

又A∈，B∈，

所以<A＋<，<B＋<，

所以A＋＝B＋，即B＝A＋，

又A＋B＋C＝π，C＝，

所以A＋A＋＋＝π，即A＝.

(2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，

又∠ABC＝A＋，

可得∠DBC＝，