第四章 §4.9 解三角形（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§4.9　解三角形

课标要求　1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题.2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题．

题型一　三角形中角平分线、中线、高线

例1 在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2.

(1)若D是BC的中点，求AD的长度；

(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度．

解　(1)∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2，

∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×2×4×sin∠BAC＝2，∴sin∠BAC＝，

又∠BAC为钝角，∴∠BAC＝，

∵D是BC的中点，∴＝(＋)，

∴2＝(＋)2，

∴||2＝＝3，

∴||＝，即AD＝.

(2)∵AE为△ABC的角平分线，

∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝，

∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，

∴AB·AE·sin ＋AC·AE·sin ＝2，

即×2AE×＋×4AE×＝2，

∴AE＝.

思维升华 在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝(b2＋c2＋2bccos A)；若AD平分∠BAC，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，＝.

跟踪训练1 (2023·重庆模拟)在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan B＝.

(1)若tan B＝，求tan C的值；

(2)已知中线AM交BC于点M，角平分线AN交BC于点N，且AM＝3，MN＝1，求△ABC的面积．

解　(1)∵tan B＝，∴＝，

∴

∴sin A＝或sin A＝1，

当sin A＝时，tan A＝，

tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－2；

当sin A＝1时，tan C＝＝2.

(2)tan B＝＝，

∴sin B(2－cos A)＝sin Acos B，

∴sin C＝2sin B，即c＝2b，

由角平分线定理可得，

＝＝＝2，∴BN＝2CN，

又MN＝1，BM＝CM，∴BM＝3，CN＝2，

由中线定理可知，4AM2＋36＝2(b2＋c2)，

∴b2＝，∠BAC＝，

∴S△ABC＝bc＝b×2b＝b2＝.

题型二　与多边形有关的问题

例2 (2024·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4.

(1)若△ABC的面积为3，求AC；

(2)若AD＝3，∠ACB＝∠ACD＋，求tan∠ACD.

解　(1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝，

∴S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝3，

解得AB＝3，

在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝13，

∴AC＝.

(2)设∠ACD＝α，

则∠ACB＝∠ACD＋＝α＋，

在Rt△ACD中，AD＝3，

易知AC＝＝，

在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝－α，

由正弦定理得＝，

即＝，

∴2sin α＝3sin＝cos α－sin α，

可得tan α＝，即tan∠ACD＝.

思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．

跟踪训练2 (2023·株洲模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4.