第四章 必刷大题9 解三角形（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷大题9　解三角形 1.(2023·西安统考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，AD＝，BC＝2，AC＝3. (1)求边AB的长； (2)求△ABC的面积． 解　(1)在△ABD中，∠ABD＝180°－(45°＋105°)＝30°， 由正弦定理得AB＝＝×＝. (2)在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠ABC＝＝＝－. ∴sin∠ABC＝＝. ∴S△ABC＝×AB×BC×sin∠ABC＝××2×＝. 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解　(1)由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝， 由正弦定理可得 sin∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得 ＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC ＝×＝. 3．(2023·开封模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos ＝ bsin A，2a＝3b. (1)求cos B的值； (2)若a＝3，求c. 解　(1)∵A＋B＋C＝π， ∴＝－， 则cos ＝sin ，又acos ＝bsin A， 由正弦定理得sin A·sin ＝sin B·sin A， 又sin A≠0，则sin ＝sin B， 又A，B均为三角形的内角， ∴B＝，即A＝2B， 又2a＝3b，即2sin A＝3sin B， 即4sin Bcos B＝3sin B， 又sin B≠0，则cos B＝. (2)若a＝3，则b＝2， 由(1)得cos B＝， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 可得c2－c＋5＝0， 即(c－2)＝0，解得c＝2或c＝， 当c＝2时，b＝c，则A＝2B＝2C， 即△ABC为等腰直角三角形， 又a≠b，此时不满足题意，故c＝. 4．(2024·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(acos C－b)＝csin A. (1)求角A； (2)若△ABC的面积为2，D为BC边上一点，且BD＝2CD.求AD的最小值． 解　(1)由3(acos C－b)＝csin A 及正弦定理可得3(sin Acos C－sin B)＝sin Csin A， 即3(sin Acos C－sin Acos C－cos Asin C) ＝sin Csin A， 即－3cos Asin C＝sin Csin A， 又C∈(0，π)，则sin C>0，则tan A＝－， 又A∈(0，π)，则A＝. (2)∵△ABC的面积为2，∴bcsin A＝2， 又A＝，∴bc＝8， 又∵D为BC边上一点，且BD＝2CD， ∴＝＋＝＋(－) ＝＋， 则2＝(+)2 ＝2＋2＋· ＝c2＋b2＋bc× ＝c2＋b2－bc ≥2××bc－bc ＝bc＝， 当且仅当c2＝b2，即c＝4，b＝2时取等号，即2的最小值为. 即AD的最小值为. 5．已知在非钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A＝；②a＝4；③c＝4；④sin C＝. (1)指出这三个条件，并说明理由； (2)求边长b和三角形的面积S△ABC. 解　(1)该三角形同时满足①②③，理由如下： 若非钝角△ABC同时满足①④， ∵sin C＝<， ∴0<C<或<C<π(舍)， 又A＝，∴<A＋C<， ∴<B＝π－(A＋C)<， 这与△ABC为非钝角三角形相矛盾，故①④不能同时选， ∴②③必选． 若选②③④，∵a<c，∴A<C， ∵sin C＝<，∴0<C<， ∴A＋C<，∴B＝π－(A＋C)>， 与△ABC为非钝角三角形相矛盾， ∴该三角形同时满足①②③. (2)由余弦定理知， a2＝b2＋c2－2bccos A ＝b2＋32－2×4×b×＝16， 化简得b2－8b＋16＝0，∴b＝4， ∴S△ABC＝bcsin A＝×4×4×＝8. 6．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0. (1)求角A的大小； (2)若∠BAC的平分线交BC于点D，给出以下三个条件：①a＝4，b＝4；②b2－a2＋c2＋10b＝0；③S△ABC＝15. 若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并求出sin B的值及AD的长． 解　(1)由sin A＋cos A＝0， 可得tan A＝－，而A∈(0，π)， 可得A＝. (2)如果①a＝4，b＝4正确， 则由正弦定理＝， 可得＝， 可得sin B＝，又B∈， 所以B＝，C＝， 则②中，b2－a2＋c2＋10b＝0， 即b2＋c2－a2＝－10b， 由余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A， 可得10b＝－2bc·， 可得c＝10≠b，显然不成立， ③中，S△ABC＝absin C＝×4×4× ＝4≠15， 所以说明①不正确， 即②③正确．由S△ABC＝bcsin A＝bc·＝15， 可得bc＝60， 又因为10b＝－2bc·， 所以c＝10，b＝6， 由余弦定理可得a＝ ＝＝14， cos B＝＝＝，则sin B＝＝＝. 由角平分线的性质可得＝， 即＝，BD＋CD＝14， 可得BD＝，CD＝， 在△ABD中，由余弦定理可得 AD＝ ＝＝， 故AD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $