第四章 §4.11 解三角形应用举例（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§4.11　解三角形应用举例

课标要求　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

知识梳理

测量中的几个有关术语

 

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)西南方向与南偏西45°方向相同．(　√　)

(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　×　)

(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(　√　)

(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝

180°.(　×　)

2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　)

A．北偏东10°方向   B．北偏西10°方向

C．南偏东80°方向   D．南偏西80°方向

答案　D

解析　由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，

又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，

所以∠DBA＝10°，

因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向．

3．如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)

A．(30＋30)m   B．(15＋30)m

C．(30＋15)m   D．(15＋15)m

答案　A

解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，

所以sin∠APB＝sin 15°＝×－×

＝，

由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)m，

所以该树的高度为30(＋)sin 45°

＝(30＋30)m.

4．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是______海里．

答案　5

解析　由题意可知∠ACB＝60°，

由正弦定理＝，

即＝，

得BC＝5.

题型一　测量距离问题

例1　(1)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为(　　)

A．10 km   B．30(－1)km

C．30(－1)km   D．10 km

答案　D

解析　在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，

所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝10，

在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，

由正弦定理得BD＝＝＝5＋5，

在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)cos 75°＝500，

所以AB＝10，即基站A，B之间的距离为10 km.

(2)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10 海里   B．10 海里

C．20 海里   D．20 海里

答案　A

解析　依题意，如图，在△ABC中，