第四章 §4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 课标要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 知识梳理 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 常用结论 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　) (2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　×　) (3)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y＝sin.(　×　) (4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　) 2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2,4π， B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝， 初相为－. 3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m. 答案　1 解析　当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1， 即12点时潮水的高度是1 m. 4．将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________. 答案　sin 解析　将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝ sin 2x的图象，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin. 　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 (1)(2023·淄博模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将f(x)的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　因为函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为， 故函数的最小正周期为T＝，所以ω＝3； 故函数f(x)＝Asin， 为得到g(x)＝Acos 3x的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度， 得到g(x)＝Asin ＝Asin＝Acos 3x的图象． (2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin＝. 思维升华 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． 跟踪训练1 (1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　) A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 答案　C 解析　C2：y＝sin＝cos ＝cos＝cos ＝cos 2. 故把y＝cos x的图象横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即得到C2的图象． (2)若函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正数ω不可能是(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 答案　A 解析　依题意，＝kT，即＝k·， 即ω＝3k，k∈Z， ∴ω不可能为2. 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 (1)(多选)(2024·邢台模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　) A．A＝4 B．ω＝2 C．φ＝ D．k＝1 答案　BD 解析　由图象可知，A＝2，k＝＝1，故A错误，D正确； 又由图象可得T＝2×＝π，∴＝π，又ω>0，∴ω＝2，故B正确； ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，又f ＝3， ∴2sin＋1＝3， ∴sin＝1，又0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin＋1，故C错误． (2)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，其中|AB|＝5，则此函数的解析式为________． 答案　y＝2sin 解析　由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象， 设A(x1，2)，B(x2，－2)，其中x1<x2， 因为|AB|＝5，可得＝5， 解得x2－x1＝3， 即T＝3，所以T＝6，可得ω＝＝， 所以f(x)＝2sin， 又由f(0)＝2sin φ＝1，可得sin φ＝， 因为≤φ≤π，所以φ＝. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin. 思维升华 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝cos B．f(x)＝cos C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos 答案　B 解析　由图象知π<T<2π，即π<<2π， 所以1<|ω|<2. 因为图象过点， 所以cos＝0， 所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z， 解得ω＝－k－，k∈Z. 因为1<|ω|<2， 故k＝－1，得ω＝， 所以f(x)＝cos. (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f 取得最小值时x的取值集合为________． 答案　 解析　根据所给图象，可得最小正周期 T＝4×＝π， 故π＝，所以ω＝2， 因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外函数f(x)的图象经过点，代入得2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 再由|φ|<，得φ＝－， 所以f(x)＝sin， 所以f ＝sin， 当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时， y＝f 取得最小值． 此时x的取值集合为. 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 例3 (1)(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒 答案　BCD 解析　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误； 当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确； 建立如图所示的平面直角坐标系， 设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由 解得 又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝，所以ω＝，φ＝－， 所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确； 将H＝1＋代入H＝2sin＋1中， 得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋， 解得t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)． 所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确． (2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为y＝cos＝ cos＝－sin 2x， 所以f(x)＝－sin 2x， 而直线y＝x－显然过与(1,0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝， 即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f ＝－sin＝－1， y＝×－＝－<－1； 当x＝时，f ＝－sin ＝1， y＝×－＝<1； 当x＝时，f ＝－sin ＝1， y＝×－＝>1. 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3. 思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． (3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 跟踪训练3 (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．如表所示是今年前四个月的统计情况． 月份x 1 2 3 4 收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为__________________． 答案　y＝sin＋6(答案不唯一) 解析　设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由题意得A＝1，B＝6，T＝4， 因为T＝，所以ω＝， 所以y＝sin＋6. 因为当x＝1时，y＝6， 所以6＝sin＋6， 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取φ＝－， 所以y＝sin＋6. (2)已知关于x的方程2sin－m＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________． 答案　(－2，－1) 解析　方程2sin－m＝0可转化为m＝2sin，x∈. 设2x＋＝t，则t∈， ∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根． 即直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同的交点，作出y＝，y＝sin t，t∈的图象，如图中实线部分所示． 由图象观察知，的取值范围是， 故m的取值范围是(－2，－1)． 课时精练 一、单项选择题 1．(2024·屯昌模拟)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案　D 解析　函数y＝2sin的周期为T＝＝π，图象向右平移个周期，即平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝2sin，即y＝2sin. 2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝－ D．ω＝，φ＝－ 答案　C 解析　由题图可得＝－＝，∴T＝π＝， ∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)， 又f ＝sin＝1， 且－<φ<，则<φ＋<， ∴φ＋＝，解得φ＝－. 3．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 答案　B 解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin的图象 y＝sin的图象 f(x)＝sin的图象． 4．(2023·梅河口模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝cos 3x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　由题图得＝－＝， ∴T＝＝，∴ω＝3， 又f ＝0，即sin＝0， 则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又∵|φ|<，∴φ＝，f(x)＝sin， 故把g(x)＝cos 3x＝sin的图象向右平移个单位长度，可得到f(x)＝sin ＝sin的图象． 5．(2023·大理模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f(x)≤对∀x∈R恒成立，且f(x)的图象关于x＝对称，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由已知得＝＝1， 又0<φ<π，故＋φ＝，得φ＝， ∵f(x)的图象关于x＝对称， ∴＋＝＋kπ，k∈Z， 则ω＝2＋8k>0，k∈Z， ∴当k＝0时，ω的最小值为2. 6．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　) A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h 答案　B 解析　设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次， 可得20－10sin＝20，t1∈[5,17]， 解得t1＝9， 20－10sin＝28，t2∈[5,17]， ∴sin＝－， 由sin ≈0.8得sin ≈－， 由t2－＝得t2＝∈[5,17]， ∴t2－t1＝＝2.4(h)． 二、多项选择题 7.如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 答案　BC 解析　由题图可知，函数的最小正周期 T＝2×＝π，∴＝π，ω＝±2. 当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得， sin＝0， ∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z， 即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin. 由于y＝sin＝sin＝sin，故B正确； y＝sin＝cos＝ cos，故C正确； 对于A，当x＝时，sin＝1≠0，故A错误； 对于D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，故D错误； 当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入， 得sin＝0， 结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴y＝sin， 但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去． 8．(2023·石家庄模拟)设函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则(　　) A．ω＝1 B．函数y＝f(x)的图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 C．函数f(x)的图象关于点中心对称 D．函数f(x)在区间上单调递增 答案　ACD 解析　∵函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2cos(ω>0)的最小正周期为＝π， ∴ω＝1，f(x)＝2cos，故A正确； 把函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝2sin＝2cos的图象，故B错误； 令x＝，可得f(x)＝0，故函数f(x)的图象关于点中心对称，故C正确； 当x∈时，2x－∈，函数f(x)＝2cos在区间上单调递增，故D正确． 三、填空题 9．(2023·厦门模拟)将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝________. 答案　 解析　将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象， 因为函数g(x)是奇函数， 所以g(0)＝sin＝0， 则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z， 因为0<φ<，所以φ＝. 10.已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)·sin，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2 024π]内有________条对称轴． 答案　　8 096 解析　f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin ＝2sin(2ωx＋2φ)， 由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝， 由于点(0，)在单调递增的区间内， 故2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝； 由图象过点，则ω＋＝2π，解得ω＝2. 故f(x)＝2sin， 令4x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z. 令0≤＋≤2 024π，k∈Z， 则－≤k≤8 096－，k∈Z. 所以f(x)在[0,2 024π]内有8 096条对称轴． 四、解答题 11．(2023·长沙模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)先将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域． 解　(1)由图可知，A＝＝2， 函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝π， ∴ω＝＝2， ∵f ＝2sin＝2， ∴sin＝1，则φ＋＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， ∵|φ|<，∴φ＝，故f(x)＝2sin. (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的，可得到函数y＝2sin的图象，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数y＝g(x)的图象， 则g(x)＝2sin＝2sin， 当0≤x≤时，≤4x＋≤， 则－≤sin≤1，－≤g(x)≤2， 所以g(x)在区间上的值域为[－，2]． 12．把函数f(x)＝2sin x的图象向左平移φ个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，记函数h(x)＝f(x)g(x)． (1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)画出函数y＝h(x)在区间上的大致图象． 解　(1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)， 根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称， 得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)， 又0<φ<，所以φ＝，则g(x)＝2sin， 则h(x)＝f(x)g(x)＝4sin xsin ＝4sin x＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1， 则函数y＝h(x)的最小正周期T＝＝π， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故函数y＝h(x)的单调递增区间是(k∈Z)． (2)列表如下： x － － － 2x－ － －π － 0 sin 0 －1 0 1 h(x) 2 1 －1 1 3 2 故y＝h(x)在区间上的大致图象如图所示． 13．(2024·达州模拟)将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍(纵坐标不变)，再向左移动个单位长度得到函数g(x)的图象，若<x1<x2<，且g(x1)＝g(x2)，则g(x1＋x2)＝_________. 答案　 解析　将函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，再向左移动个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin的图象， 若x∈，则2x＋∈(π，2π)，且直线x＝为y＝sin x的对称轴， 又因为g(x1)＝g(x2)，则＋＝3π，可得x1＋x2＝，所以g(x1＋x2)＝g＝sin＝sin ＝. 14．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 答案　－ 解析　设A，B， 由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知， x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z， 由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝， 即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4. 因为f(x)＝sin(4x＋φ)， 又f(x)过点，所以＋φ＝2kπ，k∈Z， 即φ＝－＋2kπ，k∈Z. 取φ＝－π，所以f(x)＝sin， 所以f(π)＝sin＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $