第十章 必刷大题20 概率与统计（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷大题20　概率与统计 1．为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求5名优秀教师中的“甲”在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率； (2)求第一次抽选到没有支教经验的教师人数X的分布列． 解　(1)5名优秀教师中的“甲”在每次抽选中，被抽选到的概率为， 则三次抽选中，“甲”恰有两次被抽选到的概率为 P＝C×2×＝. (2)X表示第一次抽选到的没有支教经验的教师人数，X的可能取值有0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以分布列为 X 0 1 2 P 2.(2023·邵阳模拟)某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为9∶11，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示． 性别 评价 合计 喜欢 不喜欢 男性 15 女性 合计 50 100 (1)根据所给数据，完成上面的2×2列联表； (2)能否认为性别因素与评价结果有关系？ (3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝. P(χ2≥x0) 0.010 0.005 0.001 x0 6.635 7.879 10.828 解　(1)男性有100×＝45(人)，女性有100－45＝55(人)，然后可得下表： 性别 评价 合计 喜欢 不喜欢 男性 15 30 45 女性 35 20 55 合计 50 50 100 (2)提出统计假设H0：性别因素与评价结果无关． χ2＝＝≈9.091， 因为χ2>7.879，即至少有99.5%的把握认为评价结果与性别有关系． (3)由题意得选取的3人中，评价结果为“喜欢”的有1人，“不喜欢”的有2人， 所以X的所有可能取值为150,200,250,300， 则P(X＝150)＝××＝， P(X＝200)＝×2＋2×××＝， P(X＝250)＝2×××＋×2＝， P(X＝300)＝××＝， 所以X的分布列为 X 150 200 250 300 P 数学期望为E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝. 3．(2023·南京模拟)综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．如图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间[90,100]，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级，原获C等级的学生有的概率提升为B等级，原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立． (1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率． 解　(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3， P(ξ＝0)＝××＝， P(ξ＝1)＝××＋×C××＝， P(ξ＝2)＝×C××＋××＝， P(ξ＝3)＝××＝， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. (2)记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C等级”， 则P(B|A)＝＝ ＝. 4．杭州第19届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此容错率更高．假设最终有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛则总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组． (1)若p＝，在淘汰赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示)，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 解　(1)A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， A获得冠军的概率为P1＝××＋××＝， C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， C获得冠军的概率为P2＝××＋××＝. (2)淘汰赛制下，A获得冠军的概率为p××p＋p××p＝p2， 双败赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军， 若在胜者组A胜利，后一局(与败者组胜者比赛)胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军． 综上，A获得冠军的概率为p3(1－p)＋p3＋(1－p)p3＝p3(3－2p)． 令f(p)＝p3(3－2p)－p2＝p2(－2p2＋3p－1)＝p2(2p－1)(1－p)， 若A为强队，则<p<1，故f(p)>0， 所以双败赛制下对强者更有利． 5．(2024·亳州模拟)一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为，由妻子驾车的概率为；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为. (1)求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的分布列和数学期望； (2)设在第n天时，由丈夫驾车的概率为pn，求数列{pn}的通项公式． 解　(1)设在刚开始的三天中，妻子驾车天数为X，则X的可能取值为0,1,2， 由题意可知，P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝×1×＋××1＋××＝， P(X＝2)＝×1×＝， 所以X的分布列如表所示： X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)假设第n－1(n≥2)天，丈夫驾车的概率为pn－1，则妻子驾车的概率为1－pn－1， 则第n天由丈夫驾车的概率为 pn＝pn－1×＋1－pn－1＝1－pn－1， 则有pn－＝－， 所以＝－， 因为p1－＝－＝－， 所以是以－为首项，－为公比的等比数列， 即pn－＝－×n－1， 故pn＝－n－1，n∈N+. 6．(2023·阳泉模拟)在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率分别约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为p(0<p<1)． (1)求每个芯片智能检测不达标的概率； (2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为φ(p)，求φ(p)的极大值点p0； (3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以(2)中确定的p0作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良． 解　(1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为P1，P2，P3，并记芯片智能检测不达标为事件A. 视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率， 则有P1＝，P2＝，P3＝， 由对立事件的性质及事件独立性的定义得， P(A)＝1－P1P2P3＝1－××＝， 所以每个芯片智能检测不达标的概率为. (2)人工抽检30个芯片恰有1个不达标的概率为φ(p)＝Cp1(1－p)29(0<p<1)， 因此φ′(p)＝C[(1－p)29－29p(1－p)28] ＝C(1－p)28(1－30p)． 令φ′(p)＝0，得p＝. 当p∈时，φ′(p)>0； 当p∈时，φ′(p)<0， 则φ(p)在上单调递增，在上单调递减， 所以φ(p)有唯一的极大值点p0＝. (3)记“芯片人工抽检达标”为事件B，“工人在流水线上进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品”为事件C， 由(2)得P(C)＝P(B|)＝1－p＝， 由(1)得P()＝1－P(A)＝， 所以P(B)＝P()·P(B|)＝× ≈93.8%<96%， 因此，该企业需对生产工序进行改良． 学科网（北京）股份有限公司 $