第十章 §10.4 随机事件与概率（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§10.4　随机事件与概率 课标要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 知识梳理 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示． ②有限样本空间：将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示．如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间． (2)随机事件 ①一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示．对于样本空间Ω，A是事件和A⊆Ω等价．由一个样本点组成的集合，称为基本事件． 当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生． ②Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生，我们称样本空间Ω是必然事件． ③空集∅也是Ω的子集，所以空集∅是事件，空集∅中没有样本点，永远不会发生，所以我们称∅是不可能事件． 2．两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A A⊆B或B⊇A 相等关系 对于事件A，B，如果A⊆B，且B⊆A，则称A与B等价，或称A与B相等 A＝B 并事件 (和事件) 如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A与B的并(或和) A∪B或A＋B 交事件 (积事件) 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称该事件为事件A与B的交(或积) A∩B或AB 事件的差 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差 A\B 互斥 (互不相容) 如果事件A∩B为不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A，B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件 Ω\A或 3．古典概型的特征 (1)样本空间中只有有限个样本点； (2)每个样本点出现的可能性相等． 4．古典概型的概率公式 对于古典概型，事件A的概率计算公式为P(A)＝. 5．概率的运算 (1)如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)如果A是样本空间Ω的事件，则P()＝1－P(A)． (3)一般概率加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．频率与概率 (1)在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计． (2)频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率． 常用结论 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　×　) (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　√　) (3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　×　) 2．一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是(　　) A．至少有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 答案　B 解析　射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”． 3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 答案　B 解析　由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3. 4．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 答案　 解析　从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝＝. 题型一　随机事件的关系 命题点1　随机事件间关系的判断 例1 (多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(　　) A．A⊆B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝“至少一次中靶” D．A与B互为对立事件 答案　BC 解析　事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确． 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 例2 某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解　(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. 故1张奖券中奖的概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)] ＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 命题点3　用频率估计概率 例3 (多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示： 总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数 1 000 550 260 假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(　　) A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26 C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65 答案　ABC 解析　用频率估计概率得P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A，B，C正确； P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误． 思维升华 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 跟踪训练1 (1)从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对立的两个事件的是(　　) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 答案　B 解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”也可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． (2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97,0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格产品的概率是________． 答案　0.034 解析　由题意可知，恰好抽到不合格产品的概率为 P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034. 题型二　古典概型 例4 (1)(2023·湖北省十一校联考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　这8个素数中，任取2个不同的数，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28个样本点，这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4个， 所以这两个数之和仍为素数的概率是＝. (2)(2023·秦皇岛模拟)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自主选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有A＝24(种)选法， 其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有CA＝4(种)选法，按学校规定每人只能加入一个社团，由古典概型的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率P＝＝. 思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤 跟踪训练2 (1)(2023·济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　从正六边形的6个顶点中任取3个，有C＝20(个)三角形， 其中直角三角形，每边对应2个，如图，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(个)， 所以所求概率为＝. (2)(2024·茂名模拟)从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，有A＝5×4×3＝60(种)可能； 要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除， 所以数字为1,2,3时，有A＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为1,3,5时，有A＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为2,3,4时，有A＝3×2×1＝6(种)可能； 数字为3,4,5时，有A＝3×2×1＝6(种)可能，共24种可能． 所以该三位数能被3整除的概率为＝. 题型三　概率的综合问题 例5 某省高考目前实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知某大学医学院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率． 解　(1)用a，b分别表示事件“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示事件“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12个样本点， 设M＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”，则M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5个样本点， ∴P(M)＝＝. (2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”的事件分别是N1，N2，N3，由题意知事件N1，N2，N3相互独立． 由(1)知P(N1)＝P(N2)＝P(N3)＝. 记N＝“甲、乙、丙三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”， 则N＝N1N2∪N1N3∪N2N3， 则P(N)＝P(N1N2)＋P(N1N3)＋ P(N2N3)＝×××3＝. 思维升华 求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据公式准确计算． 跟踪训练3 为了备战2024年法国巴黎奥运会(第33届夏季奥林匹克运动会)，中国射击队的甲、乙两名运动员展开队内对抗赛．甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次，且两人命中目标与否互不影响．已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为. (1)求甲没有命中目标的概率； (2)在两次射击中，求恰好有一人命中目标的概率． 解　(1)记“甲命中目标”为事件A，则P(A)＝， 所以甲没有命中目标的概率P()＝1－P(A)＝. (2)记“乙命中目标”为事件B，则P(B)＝，P()＝， 两次射击中，恰好有一人命中目标的事件为A∪B， 由题意知事件A，B相互独立， 所以所求概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. 课时精练 一、单项选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．任何事件的概率总是在(0,1)之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 答案　C 解析　不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误． 2．从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况， 其中这2个球的编号之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种情况， 故这2个球的编号之和为偶数的概率为＝. 3．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　记高一2名学生分别为A，B；高二2名学生分别为a，b.从这4名学生中随机选2名有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)，共6种选法，其中这2名学生来自不同年级有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，共4种选法， 所以这2名学生来自不同年级的概率为＝. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不正确的是(　　) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 答案　D 解析　“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2种情况， 故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确， A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”， 故A∪B≠B∪D，故D错误． 5．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序， ∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝. 6．(2023·常德模拟)某人同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e≥的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上， 所以a>b，而e＝≥， 解得0<≤， 投掷骰子得到的点数(a，b)共有36种结果，其中满足0<≤的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)，共9种， 所以所求概率为＝. 二、多项选择题 7．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则(　　) A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C．P(B∪C)＝P(C) D．P(BC)＝P(C) 答案　BC 解析　因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确；又因为B⊆C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正确；P(BC)＝P(B)，故D错误． 8．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间/分钟 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．线路一所需的平均时间比线路二少 C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 答案　BD 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确． 三、填空题 9．(2023·益阳质检)甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲、乙中间有空位的概率为________． 答案　 解析　甲、乙两人要在一排六个空座上就坐，则有A＝30(种)坐法，而甲、乙相邻的坐法有5A＝10(种)坐法，则甲、乙中间有空位的概率P＝＝. 10．(2023·重庆模拟)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好．现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同．从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________． 答案　 解析　由条件可知，舀到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅两种情况， 所以概率P＝＝. 四、解答题 11．(2023·深圳模拟)某食品公司在中秋节来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个月饼，其中有4个五仁月饼和3个枣泥月饼． (1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率； (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率； (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率． 解　(1)一次取出2个月饼，共有C＝21(种)方法，其中两个都是五仁的有C＝6(种)方法，两个都是枣泥的有C＝3(种)方法，则两个月饼为同一种口味的概率为＝. (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，其中第1次、第2次取到的都是五仁月饼有4×3＝12(种)方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率是＝. (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有A＝42(种)方法，第1次取到五仁、第2次取到枣泥月饼的方法有4×3＝12(种)，第1次取到枣泥、第2次也取到枣泥月饼的方法有3×2＝6(种)，所以第2次取到枣泥月饼的概率为＝. 12．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到如下试验结果： A配方的频数分布表 质量指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 质量指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为 y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润． 解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96， 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96. 用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 13．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得一共有C种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有C种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有C种分组方法．故所求概率P＝＝. 14．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如果某人收到的验证码a1a2a3a4满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________． 答案　 解析　由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1＝2,2<a2<a3<a4， ∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选， 选出3个数，让其按照从小到大的顺序有 C＝35(种)排法， 又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)排法， ∴它是首位为2的递增型验证码的概率为 ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $