6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

(2):A=120C2, ·2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=120n(n-12 2 解得n=3或n=-1(舍去)，又：n≥2，.n=3. 例4：(1)7315(2)14 【解析】(1)因为C=C4,所以C9+C+C+·+C=(C9 +C4)+C+…+C2=(C5+C)+Cg+…+C=…=C8= C=7315. (2)由C1-C=C得C1=C+C,由组合数的性质，可得 C2+1=C1,故8+7=n+1,解得n=14. 跟踪训练3：5006C+C%C=G+Cam×1=8x7x6 3×2×1 100×99=56+4950=5006. 2×1 随堂检测重反馈 1.CA、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中选 出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题 2BG+g=C+G8+29-6 3.210从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有C。=210(种)分法， 4.【解析】甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2 人，是组合问题，共有C?=28种不同的选法. 第2课时组合的综合应用 题型探究提技能 例1：【解析】(1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一 名队长和两名队长，故共有C·C4+C号·C=825(种). 方法二：采用排除法有C3-C=825(种) (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女 生、没有女生， 故共有C·C8+C;·Cg+C=966(种) (3)分两种情况：第一类，女队长当选，有C2种； 第二类，女队长不当选，则男队长当选，有C4·C+C·C+ C·C+C4种. 故共有C2+C4·C+C·C+C·C吲+C4=790(种). 跟踪训练1：64若选修2门课，则需要从体育类和艺术类中各 选择1门，共有C4C4=16种；若选修3门课，则分为两种情 况，2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类，共有 2C2C=48种.故选课方案一共有48+16=64种 例2：【解析】(1)方法一：可作出三角形C+Cg·C+C%·C4 =116(个). 其中以C1为顶点的三角形有C?+C;·C4+C=36(个). 方法二：可作三角形Ci0-C4=116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有C+C·C4+C=36(个) (2)可作出四边形C5+C6·C6+C6·C6=360(个). 跟踪训练2：A方法一：可以按从共面的5个点中取0个、1个 2个，3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC;+C,C+ CC+CC =205. 16 方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部 取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C -C4=205. 例3：【解析】(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一 个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种 放法 (2)这是全排列问题，共有A4=24种放法， 《(3)方法一：先将4个小球分为3组，有A一种方法， 再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方 法，故共有CCC·=14种放法 方法二：先取4个球中的2个“捆”在一起，有C种选法， 把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒 子，有A种投放方法， 所以共有CA=144种放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C4种， 当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知， 其余3个球的投放方法有2种，故共有2C4=8(种). 跟踪训练3：【解析】(1)根据分步乘法计数原理得有CCC =90种. (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6CC2种方法， 这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有x种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法。 根据分步乘法计数原理可得CCC2=xA, 所以x= 2Cc=15. A 因此分为三份，每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有C6CC=60种方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C6CCA= 360种方法. 例4：【解析】(1)需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1 组，可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3 处，每种放法对应着一种分法，故共有C=10种. (2)恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中 的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个 小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有CC4=40种. (3)恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中 的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个 空隙中的任意1处，故共有CC2=30种. 跟踪训练4：【解析】(1)问题相当于将16个小球串成一串，插 入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个 15！ 插入隔板，插法种数为C,=3112=455.故不同的分配方 案共有455种. (2)问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小 球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至 少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串 成一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入 隔板，插法种数为C。=84,因此不同的分配方案共有84种. 随堂检测重反馈 1.A用间接法得不同选法有C6-C=14种，故选A 2.A根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出 的数字中必须有5,6,7，在1,2,3,4中有2个数字，则不同的 取法有C=6种. 3.C将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方 案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有C4C=8 种，②两所敬老院各安排两名志愿者，则有CC=6种，故共 有8+6=14种方案.故选C. 4.(1)1260(2)80 【解析】(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能 构成一个平行四边形，故共有CC。=1260(个). (2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所 以共有CgC。=80(个). 6.3 二项式定理 6.3.1二项式定理 教材梳理明要点 新知初探 知识点 Ca"+Cha"-lb+C2a"-262+…+Ca"-*b+…+Cb"(n∈ N*) (1)(n+1)(2)C(3)k+1Ca"-b 预习自测 1.B展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 2.DT3=C(2x)2(-3)2=216x2 320因为（+号） 的展开式的适项为=心（是） (管)广=3c,=0.1,6,令6k-3)=0.可得 =3,所以常数项为3°C=20. 题型探究提技能 例1：【解析】 方法-3+京)月 =Cg(3)+C(3E)》.上+C(32 +C4(3)· ()广+c() =81x2+108x+54+2+ 方法=(3板+后》 1+3 =[1+C3x+6(3)+C(3+c(3x =1+12x+542+1o8+81r) =+是+54+108r+812 16 (2)原式=C(x+1)“+C(x+1)"-（-1)+C2(x+1)-2 (-1)2+…+C(x+1)"-*(-1)+…+C(-1)“=[(x+ 1)+(-1)]"=x". 跟踪训练1：5C3”+C3"-1+…+C-13+C=C3”·1°+ C13"-1·11+…+C-13·1-1+C3°.1“=(3+1)“=4”= 1024=2,即22"=20，解得n=5. 例2：【解析】二项展开式的第r+1项是 (1)令r=3,则T4=（-1)3C2x2-寺x3=-220x 4 (2)令12-3=0，则r=9,从而常数项为(-1)°C=-220. (3)若求展开式中的有理项，则12-子，为整数，即r=0,36。 9,12. 故有理项分别为T1=x2,T4=-C2x=-220x, T,=C2x4=924x,T10=-C2=-220,T3=x4. 一兰)的展开式的通项是？1=C· 6 跟踪训练2：4 （-a)'x2=C6x6-(-√a)',令6-3r=0,得r=2,即当r= 2时，T,1为常数项，即常数项是Ca,根据已知得C6a=60,解 得a=4. 例3：【解析】(1)：第4项的二项式系数与第3项的二项式系 数的比为8：3， C:C=83"号-号a=0 3 2-)-)” 其通项公式为Tk+1=(-2)Cox-, 令5-k=3,可得k=2, .展开式中x3项的系数为(-2)2×C。=180, 展开式中含x2项的二项式系数为C。=45. 跟踪训练3：6 因为（石-子）广的二项展开式为工 C()(-是)广，所以它的第二项的系数为，= C(-2),第二项的二项式系数为C,由(G-)）广的展开 式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以C C1(-2)=18→n=6. 随堂检测重反馈 1.B由展开式的通项知工=心(）=84 2.B在通项公式Tk1=C。(-2y)xo-中，令k=4,得xy 的系数为C1。(-2)4=840. 3.x4(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=C9(x+ 1)4+C4(x+1)3(-1)1+C(x+1)2(-1)2+C(x+1)· (-1)3+C4(-1)4=[(x+1)-1]4=x4 4【解折10(-）广--2x 所以第3项为T=Cgx8-2(-2x2)2=(-2)2Cxx4= 4Cx2=112x2.018 随堂检测重反馈 1.下列问题中属于组合问题的是 A.从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2.C%+C= A.72 B.36 C.30 D.42 3.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为 .（用数字作答) 4,在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人 必须参加，有多少种不同的选法？ 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5] 第2课时 组合的综合应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法 数学建模、数学运算 2.理解排列、组合中的分组分配等问题 数学建模、数学运算 题型探究提技能 题型一有限制条件的组合问题 [方法总结1] 例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一 有限制条件的组合问 题主要有两类 名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)“含”与“不 (1)至少有一名队长当选； 含”问题，其解法常 (2)至多有两名女生当选； 用直接分步法，即 (3)既要有队长，又要有女生当选， “含”的先取出， ●[方法总结1] “不含”的元素去掉 再取，分步计数； (2)“至多”“至 少”问题，其解法常 有两种解决思路：一 是直接分类法，但要 注意分类要不重不 漏；二是间接法，注 意找准对立面，确保 不重不漏 019 〉跟踪训练1 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课 中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共 有 种（用数字作答） 题型二与几何有关的组合问题 [方法总结2] 例2如图，在以B为直径的半圆周上，有异于A,B的六 解答几何图形组合问 C; 题的策略 个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点 C A D.D,D.D.B (1)在处理几何问题 D1,D2,D3,D4 中的组合问题时，应 (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C点 将几何问题抽象成组 的有多少个？ 合问题来解决.要注 (2)以图中的12个点（包括A,B)中的4个点为顶点，可作出多少个 意共点、共线、共 四边形？ 面、异面等情形，避 P[方法总结2] 免重复计算； (2)计算时可用直接 法，也可用间接法， 要注意在限制条件较 多的情况下，需要分 类计算符合题意的组 合数 〉跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四 点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110 C.204 D.200 020 题型三不同元素的分组、分配问题 例3将4个编号为2,34的小球放入4个编号为1,23,4的盒子中 (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ [方法总结3] 分组、分配问题的求 (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同， 解策略 有多少种放法？ ●[方法总结3] （1)分组问题属于 “组合”问题，在涉 及均匀分组时会出现 重复现象，要把重复 部分去掉，方法是： 若有几组均分，则最 后除以nl (2)分配问题属于 “排列”问题。可以 按要求逐个分配，也 可以分组后再分配 》跟踪训练3 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本 021 题型四相同元素的分组、分配问题 例4将6个相同的小球放人编号为1,2,34的盒子中，求下列放法的 种数 (1)每个盒子都不空； [方法总结4] (2)恰有1个盒子空； 相同元素的分配问题 用“隔板法” (3)恰有2个盒子空. P[方法总结4] “隔板法”的解题步 骤：①定个数，确定 名额的个数、分成的 组数以及各组名额的 数量；@定空位，将 元素排成一列，确定 可插隔板的空位数； ③插隔板，确定需要 的隔板个数，根据组 数要求插入隔板，利 用组合数求解不同的 分法种数. )》跟踪训川练4 某校准备参加2025年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的 1~4班，每班至少一个名额. (1)不同的分配方案共有多少种？ (2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？ 022 随堂检测重反馈 1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不 同的选派方案种数为 ( A.14 B.24 C.28 D.48 2.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数 的所有取法种数为 ( A.6 B.12 C.18 D.24 3.2025年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习'62周年纪念日，某志愿者服务队在该日安 排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要 参加活动，则不同的分配方法数是 () A.8 B.12 C.14 D.20 4,在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行. (1)它们共能构成 个平行四边形； (2)共有 个交点 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6] 6.3 二项式定理 6.3.1二项式定理 新课程标准解读 学科核心素养 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式 数学运算 3.能解决与二项式定理有关的简单问题， 逻辑推理、数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 在多项式乘法运算中我们总结出了常用的完全平方公式：(a+b)2=a2+ [提示] 2ab+b2和完全立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.对于4次方，5次 可利用计数原理得出 方甚至更高次方的展开式只能用多项式乘法法则展开.那么(a+b)”有没 (a+b)”展开式的二 项式定理 有可通用的展开式公式呢？ ●[提示]