杨辉三角的性质与应用 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

《杨辉三角的性质与应用》（第三课时）教学设计 高数学探究课对于发展学生的思维能力，学会数学的思维方式，学会数学探究等具有重要作用。前两课时学生已经通过搜集资料了解了杨辉三角的历史，分小组探究出了杨辉三角的性质，并选择某条性质探究它的应用，本节课就是展示同学们小组探究的成果。下面从以下几个环节进行汇报： 1、 教材分析 本节课选自人教A版选择性必修三第六章数学探究课的第三课时，是在学习过二项式定理后的一节数学探究课。结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养. 2、 学情分析 数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴令的丰富的 数学思想方法提高学生的思维能力。进入高二以后，从学生的知识结构来看，学生已学习了两个计数原理和二项式定理，这为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了知识基础。从学生的心理特征来看，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了能力基础。 三、重点、难点 重点、难点是杨辉三角性质的应用. 四、教学过程 环节一、知识回顾 简单回顾杨辉三角的历史背景、地位和作用，并梳理探究出来的杨辉三角的性质. 环节二、小组展示 课前开展学习活动，前两课时已经了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究了杨辉三角的性质，之后各小组选择某条性质来探究性质的应用，课上分小组进行成果展示. 潜新组——探究杨辉三角在弹球游戏中的应用（见附表1） 恒学组——探究杨辉三角在纵横图中的应用（见附表2） 探源组——探究杨辉三角在堆垛术中的应用（见附表3） 环节三、课堂小结 通过三个课时的探究，同学们了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究出了杨辉三角的性质，并探究了性质在生活中的应用。在整个的探究过程中，同学们不仅仅获得了数学的知识，还获得了很多宝贵的经验，以及在合作探究中的深厚的友情和团队的精神。 设计意图：肯定学生们的探究过程，表扬学生们合作探究中的团队合作精神. 环节四、课后作业 提供杨辉三角的其它的研究方向，鼓励同学们勇于探索尝试. 设计意图：设计研究性学习活动，鼓励学生探究杨辉三角中的众多奥秘. 附表1 杨辉三角的性质与应用 ___19__年级__10___班 完成时间____2021.12.10___________ 1. 课题成员分工 王延璞（组长，汇报人） 罗成、王晓涵（查找资料） 夏添、祁泽耀（汇总资料并发现规律） 刘芊蔚、杨逸菲（撰写相关材料） 全体组员（相关规律、定理的证明） 1. 发现的数学结论及发现过程概述 过程：结合所学过的二项式定理的知识，在杨辉三角中横看，斜看、局部看，整体看，发现了一些规律。 ①第n行的和为，即 ②第n行所有数字拼在一起为（第4行数字为1，4，6，4，1，拼在一起为14641=） ③自腰上的某个1开始平行于腰上的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数（曲棍球定理） ④从第3条斜线中数字的和起,其后各斜线中数字的和是前两条斜线中数字和之和（斐波那契） ⑤ 1. 证明思路及其形成过程描述 ④将n个数相加抽象为 再运用组合数相关性质证明 1. 结论的证明或否定 = = = 1. 杨辉三角的应用举例 弹球游戏与高尔顿板、谢尔宾斯基三角形、堆垛数...... 6、收获与体会 要在日常生活中做一个有心人，有一双见微知著的眼睛，才能在日常生活中体会出数学之美，品味出大千世界真正的奥妙。 附表2 杨辉三角的性质与应用 ___19__年级__10___班 完成时间__2021.12.10__ 1,课题组成员分工： 整理汇总：李庆琳 题目收集：朱立玮 探究解题：李庆琳 朱立玮 蔡文博 张天乐 1. 发现的数学结论及发现过程： 1. 对称性：每行中与首末两端“等距离”的两个数相等 1. 第n行的和为 1. 杨辉三角与横纵图计数问题的联系 1. 证明思路： 依据由特殊到一般地思路来进行证明，先试探究4×4特殊横纵图与杨辉三角的关联。然后利用加乘原理和排列组合知识加以验证，最终进一步推广到任意情况。 1. 结论的证明： 如右图，可将横纵图旋转便于观察，依据分步加法原理： A→C 和A→D点分别有1条路径，则A→E共有1+1=2条路径。 如右图，依据相同