7.3.2 离散型随机变量的方差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

7.3.2　离散型随机变量的方差 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　理解并会计算离散型随机变量的方差；能利用方差的意义分析解决实际问题. 1.方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn D（X）=（x1-E（X））2p1+（x2-E（X））2p2+…+（xn-E（X））2pn=（xi-E（X））2pi能够刻画X相对于均值的离散程度（或波动大小），这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 2.方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 3.方差的性质 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 （1）D（X+b）=D（X）. （2）D（aX+b）=a2D（X）. （3）若X服从两点分布，则D（X）=p（1-p）. （4）D（X）=E（X2）-[E（X）]2. 基础落实训练 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （　　） （2）若a是常数，则D（a）=0. （　　） （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. （　　） （4）若a，b为常数，则=a. （　　） 答案：（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 2.已知随机变量ξ的分布列如下表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）= （　　） ξ 0 1 x P p A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.68 解析：选C　先由随机变量分布列的性质解得p=.由E（ξ）=0×+1×+x=1.1，得x=2，所以D（ξ）=（0-1.1）2×+（1-1.1）2×+（2-1.1）2×=0.49. 3.已知X的分布列如下： X 0 1 2 P 设Y=2X+3，则D（Y）=　　　　.  答案： 题型（一）　离散型随机变量的方差 [例1]　（1）设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D（X）等于 （　　） A. B. C. D. （2）某运动员投篮命中率p=0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为　　　　.  解析：（1）由题意知， E（X）=1×+2×+3×+4×=， 故D（X）=×+×+×+×=. （2）依题意知，X服从两点分布，X的分布列为 X 1 0 P 0.8 0.2 故E（X）=0.8，D（X）=（1-0.8）2×0.8+（0-0.8）2×0.2=0.16. 答案：（1）C　（2）0.16 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量X的方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X可能取的全部值； （2）求X取各个值的概率，写出分布列； （3）根据分布列，由均值的定义求出E（X）； （4）根据公式计算方差. 　　[针对训练] 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D（X）等于 （　　） A.3.36 B. C.7.8 D.3.6 解析：选A　由题知X=6，9，12. P（X=6）==，P（X=9）==， P（X=12）==. ∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴E（X）=6×+9×+12×=7.8，D（X）=（6-7.8）2×+（9-7.8）2×+（12-7.8）2×=3.36. 2.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为　　　　.  解析：X的分布列为 X 1 3 5 P 则E（X）=1×+3×+5×=，D（X）=. 答案： 题型（二）　离散型随机变量方差的性质　　　　　　　　　 [例2]　已知X的分布列如下： X -1 0 1 P a （1）求X2的分布列； （2）计算X的方差； （3）若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 解：（1）由分布列的性质知++a=1，故a=.从而X2的分布列为 X2 0 1 P （2）法一　由（1）知a=，所以E（X）=（-1）×+0×+1×=-.故D（X）=×+×+×=. 法二　由（1）知a=，所以E（X）=（-1）×+0×+1×=-.E（X2）=0×+1×=， 所以D（X）=E（X2）-（E（X））2=. （3）因为随机变量Y=4X+3， 所以E（Y）=4E（X）+3=2，D（Y）=42D（X）=11. 　　|思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b方差的方法 　　求随机变量Y=aX+b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX+b）=a2D（X）求解. 　　[针对训练] 3.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E（X）=. （1）求D（X）的值； （2）若Y=3X-2，求的值. 解：由分布列的性质，得++p=1， 解得p=.∵E（X）=0×+1×+x=， ∴x=2. （1）D（X）=×+×+×==. . （2）∵Y=3X-2， ∴D（Y）=D（3X-2）=9D（X）=5， ∴=. 题型（三）　离散型随机变量方差的实际应用 [例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求ξ，η的分布列； （2）比较甲、乙的射击技术. 解：（1）由题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1-（0.3+0.3+0.2）=0.2.所以ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得E（ξ）=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，E（η）=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以D（ξ）=（10-9.2）2×0.5+（9-9.2）2×0.3+（8-9.2）2×0.1+（7-9.2）2×0.1=0.96， D（η）=（10-8.7）2×0.3+（9-8.7）2×0.3+（8-8.7）2×0.2+（7-8.7）2×0.2=1.21. 由于E（ξ）>E（η），D（ξ）<D（η），说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. 　　|思|维|建|模| 　　均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析. 　　[针对训练] 4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示. 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列. （2）若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率. （3）根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司?请说明理由. 解：（1）根据题意可知，随机变量η的可能取值有0，1，2， 则P（η=0）=0.8×0.8=0.64，P（η=1）=2×0.2×0.8=0.32，P（η=2）=0.2×0.2=0.04， 所以随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 （2）小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×（0.4+0.3）+0.1×（0.4+0.3）=0.49. （3）入职甲公司，月薪的均值为E（X）=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6， 方差D（X）=0.4×（5-6）2+0.3×（6-6）2+0.2×（7-6）2+0.1×（8-6）2=1. 入职乙公司，月薪的均值为E（Y）=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6， 方差D（Y）=0.4×（4-6）2+0.3×（6-6）2+0.2×（8-6）2+0.1×（10-6）2=4， 乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×（0.4+0.3+0.2）+0.1=0.4， 即E（X）=E（Y），D（X）<D（Y），0.4<0.49， 即两家公司月薪的均值相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司. 学科网（北京）股份有限公司 $