7.3.1 离散型随机变量的均值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题. 1.离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. （3）性质：若X是离散型随机变量，则：①E（X+b）=E（X）+b；②E（aX）=aE（X）；③E（aX+b）=aE（X）+b. 2.两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）=0×（1-p）+1×p=p. |微|点|助|解| 理解均值要注意三点 （1）离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足pi=1，所以均值是以概率pi为权数的加权平均数. （2）E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但E（X）是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平. （3）E（X）与随机变量X本身具有相同的单位. 基础落实训练 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的数学期望E（X）是个变量，其随X的变化而变化. （　　） （2）随机变量的均值反映样本的平均水平. （　　） （3）若随机变量X的数学期望E（X）=2，则E（2X）=4. （　　） （4）随机变量X的均值E（X）=. （　　） 答案：（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.已知随机变量X服从两点分布，且E（X）=0.7，则其成功的概率为 （　　） A.0 B.1 C.0.3 D.0.7 解析：选D　设成功的概率为p，则E（X）=0×（1-p）+1×p=p=0.7.故选D. 3.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E（X）= （　　） A. B.2 C. D.3 解析：选A　 E（X）=1×+2×+3×=. 题型（一）　离散型随机变量的均值 [例1]　一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒子中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 （1）若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； （2）若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为X，求X的分布列与期望. 解：（1）有放回抽取两次，总的可能有4×4=16种，小球得分之和大于6的情况有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球，共3种情况，所以小球得分之和大于6的概率P=. （2）X的所有可能取值有3，4，5，6，7， P（X=3）==，P（X=4）==， P（X=5）==，P（X=6）==，P（X=7）==， 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 7 P E（X）=3×+4×+5×+6×+7×=5. 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量X的均值的步骤 （1）理解X的意义，写出X的所有可能取值； （2）求X取每个值时的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值的定义求E（X）. 　　[针对训练] 1.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率； （2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 解：（1）从6张奖券中，任取2张奖券共有=15种选法，抽到的两张奖券折扣相同有3种选法， 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为P==. （2）X的所有可能取值为80，85，90，P（X=80）==，P（X=85）==，P（X=90）==， 所以X的分布列为 X 80 85 90 P 所以E（X）=80×+85×+90×=. 题型（二）　离散型随机变量均值的性质 [例2]　已知随机变量ξ和η，其中η=10ξ+2，且E（η）=20，若ξ的分布列如下表，则m的值为 （　　） ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 解析：选A　因为η=10ξ+2，所以E（η）=10E（ξ）+2=20， 所以E（ξ）=，又E（ξ）=1×m+2×+3n+4×=+m+3n①， 且m++n+=1②，由①②，得m=. 　　|思|维|建|模| 利用离散型随机变量均值性质解决问题的思路 　　若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ=aX+b，a，b为常数.一般思路是先求出E（X），再利用公式E（aX+b）=aE（X）+b求E（ξ）.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（ξ）. 　　[针对训练] 2.[多选]已知随机变量X的分布列如下，且E（X）=6.3，则下列结论正确的是 （　　） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a=7 B.b=0.4 C.E（aX）=44.1 D.E（bX+a）=2.62 解析：选ABC　由分布列的性质得0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，又E（X）=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3，∴a=7，∴E（aX）=aE（X）=7×6.3=44.1，E（bX+a）=bE（X）+a=0.4×6.3+7=9.52.故选ABC. 3.元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X，则E（5X-5）= （　　） A.- B. C.- D. 解析：选A　X的可能取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以E（X）=0×+1×+2×=，故E（5X-5）=5E（X）-5=-5=-. 题型（三）　离散型随机变量均值的应用 [例3]　某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从A，B，C三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选A，2人选B，1人选C，则选择C的人获奖；5人中3人选A，1人选B，1人选C，则选择B和C的人均获奖；如A，B，C中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖） （1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率； （2）设每组5人中获奖人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）商家提供方案2：将A，B，C三个字母改为A和B两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2? 解：（1）设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B， P（B|A）===. （2）X的可能取值为0，1，2， P（X=0）===， P（X=1）===， P（X=2）===， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=. （3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为×300=， 设选择方案2获奖人数为Y，Y的可能取值为0，1，2， 则P（Y=0）===，P（Y=1）===，P（Y=2）===， 方案2获奖人数的数学期望E（Y）=0×+1×+2×=， 选择方案2获取奖金总额的数学期望为×200=， 因为>，所以选择方案2. 　　|思|维|建|模| 利用离散型随机变量求解实际问题的步骤 （1）把实际问题概率模型化； （2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； （3）利用公式求出相应均值； （4）对照实际意义，根据所求均值下结论. 　　[针对训练] 4.某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱重量为5 kg），某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 （1）用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E（ξ）； （2）利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 售价/（元/kg） 25 20 15 10 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案? 解：（1）用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×=3，非特级品的箱数为10-3=7，所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3. 则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==， P（ξ=2）==，P（ξ=3）==， 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E（ξ）=0×+1×+2×+3×=. （2）方案一的单价为20元/kg， 设方案二的单价为η，则η的均值为E（η）=25×+20×+15×+10×=17.5， 因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二. 学科网（北京）股份有限公司 $