训练4 函数及其表示（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

训练4　函数及其表示 一、单项选择题 1．(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于(　　) A．{x|－3≤x≤－} B．{x|－≤x≤} C．{x|≤x≤4} D．{x|－3≤x≤4} 答案　B 解析　因为A＝{x|y＝} ＝{x|－≤x≤}， B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|－≤x≤}． 2．已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝(x≠－2) B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝＋2(x≠0) D．f(x)＝－1(x≠0) 答案　C 解析　令＝t，即x＝＋1， 则f(t)＝＋1＋1＝＋2，由x－1≠0，得t≠0， 故f(x)的解析式为f(x)＝＋2(x≠0)． 3．(2023·高邮质检)已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1,4]，值域为[3，＋∞)，设函数f(x)的定义域为A、值域为B，则A∩B等于(　　) A．∅ B．[4,7] C．[2,7] D. 答案　C 解析　因为g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1,4]，值域为[3，＋∞)， 则f(2x－1)的定义域为(1,4]，值域为[2，＋∞)，由1<x≤4得1<2x－1≤7， 所以f(x)的定义域为(1,7]，值域为[2，＋∞)， 则A＝(1,7]，B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2,7]． 4．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若对任意x1∈[－1,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(0,3] D．[3，＋∞) 答案　D 解析　∵函数f(x)＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x＝1对称， ∴x1∈[－1,2]时，f(x1)的最小值为f(1)＝－1， 最大值为f(－1)＝3， 可得f(x1)的值域为[－1,3]， 又∵g(x)＝ax＋2(a>0)，∴g(x)为增函数， ∵x2∈[－1,2]，∴g(x2)的值域为[g(－1)，g(2)]， 即当x2∈[－1,2]时，g(x2)∈[2－a,2a＋2]， ∵∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]， 使得f(x1)＝g(x2)，∴解得a≥3. 二、多项选择题 5．(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝则正确的有(　　) A．f(g(2))＝2 B．g(f(1))＝1 C．当x<0时，f(g(x))的最小值为2 D．当x>0时，g(f(x))的最小值为1 答案　ABD 解析　对于A，g(2)＝log22＝1， f(g(2))＝f(1)＝2，A正确； 对于B，g(f(1))＝g(2)＝1，B正确； 对于C，当x<0时，g(x)＝2x∈(0,1)， 当t∈(0,1)时，f(t)＝t＋是减函数， f(t)∈(2，＋∞)，无最小值，C错误； 对于D，当x>0时，f(x)＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，当t≥2时，g(t)＝log2t≥1，当且仅当t＝2时等号成立，所以此时g(f(x))的最小值为1，D正确． 6．一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是(　　) A．若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则b＝2 B．函数f(x)＝1＋存在“跟随区间” C．若函数f(x)＝m－存在“跟随区间”，则m∈ D．二次函数f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间” 答案　AD 解析　对于A，因为f(x)＝x2－2x＋2在区间[1，b]上为增函数，若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的跟随区间，故其值域为[1，b2－2b＋2]，根据题意有b2－2b＋2＝b，解得b＝1或b＝2，因为b>1，故b＝2，故A正确； 对于B，因为函数f(x)＝1＋在区间(－∞，0)与(0，＋∞)上均单调递减，故若f(x)＝1＋存在跟随区间[a，b]， 则有解得a＝b，与a<b矛盾，故函数f(x)＝1＋不存在“跟随区间”，故B不正确； 对于C，若函数f(x)＝m－存在跟随区间[a，b]，因为f(x)＝m－为减函数，故由跟随区间的定义可知⇒a－b＝－，a<b， 即(a－b)(＋)＝(a＋1)－(b＋1)＝a－b，因为a<b，所以＋＝1， 易得0≤<≤1，所以a＝m－＝m－(1－)， 令t＝，代入上式化简可得t2－t－m＝0，同理t＝也满足t2－t－m＝0，即t2－t－m＝0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根， 故解得m∈，故C不正确； 对于D，若f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[a，b]，值域为[3a,3b]．当a<b≤1时，易得f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上单调递增，此时易得a，b为方程－x2＋x＝3x的两根，解得x＝0或x＝－4.故存在定义域[－4,0]，使得值域为[－12,0]，故D正确． 三、填空题 7．(2023·北京西城区模拟)函数f(x)＝ln x＋的定义域为________． 答案　(0,1] 解析　函数f(x)＝ln x＋的定义域满足 解得0<x≤1， 所以函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0,1]． 8．(2023·肇庆模拟)设函数f(x)＝若f ＝4，则a＝______. 答案　－ 解析　∵<1， ∴f ＝2×－a＝－a. 当－a<1，即a>－时，f ＝f ＝2×－a＝1－3a＝4，则a＝－1，与a>－相矛盾，舍去； 当－a≥1，即a≤－时， f ＝f ＝＝4， 则－a＝2，即a＝－，满足a≤－， 综上所述，a＝－. 四、解答题 9．求下列函数的解析式： (1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x； (2)已知函数f(x)满足：f(＋1)＝x－2. 解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以f(0)＝c＝1， 因为f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x， 所以解得 因此f(x)＝x2－x＋1. (2)令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 代入f(＋1)＝x－2， 有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 因此f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 10．求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝x－； (3)y＝. 解　(1)y＝＝＝1－， 因为≠0，所以1－≠1， 即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}． (2)令＝t，则t≥0且x＝， 于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1， 由于t≥0，所以y≤， 故函数的值域是. (3)x≠－1且由已知得x2＋(1－y)x＋1－y＝0，(*) 方程有解，所以Δ＝(1－y)2－4(1－y)≥0， 即y2＋2y－3≥0， 解得y≥1或y≤－3， 因为x＝－1不满足(*)， 所以函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $