训练3 基本不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

训练3　基本不等式 一、单项选择题 1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明(　　) A．如果a>b，b>c，那么a>c B．如果a>b>0，那么a2>b2 C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 D．如果a>b，c>0那么ac>bc 答案　C 解析　可将直角三角形的两直角边长记作a，b，斜边长为c(c2＝a2＋b2)．则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.故对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 2．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D．4 答案　B 解析　因为a，b为正实数，所以 a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3， 当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立． 3．(2023·苏州模拟)设a，b是正实数，以下不等式恒成立的为(　　) A.> B．ab＋>9 C．a2＋b2>4ab－3b2 D．a>|a－b|－b 答案　D 解析　对于A，因为a，b是正实数，所以a＋b≥2，则1≥，可得到≥，当且仅当a＝b时等号成立，故A错误； 对于B，因为a，b是正实数，所以ab＋≥2＝2，当且仅当ab＝，即ab＝时取等号，故B错误； 对于C，a2＋b2－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，当且仅当a＝2b时取等号，故C错误； 对于D，a＋b>|a－b|，则a>|a－b|－b恒成立，故D正确． 4．已知x1>0，x2>0，x1＋x2<ex1x2(e为自然对数的底数)，则(　　) A．x1＋x2>1 B．x1＋x2<1 C.＋< D.＋> 答案　A 解析　由题意得＝＋ ＝＋<e. 又(x1＋x2)＝1＋＋＋1 ≥2＋2＝4， 当且仅当x1＝x2时等号成立， 所以x1＋x2>>1. 二、多项选择题 5．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2的最小值为 B．ab的最大值为 C．4a2＋b2的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 答案　BD 解析　由题意得，a>0，b＝2－2a>0， 从而0<a<1， 所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝52＋. 当a＝时，a2＋b2有最小值，故A错误； 因为2＝2a＋b≥2， 所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确； 4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×＝2， 当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故C错误； ＋＝(2a＋b)＝ ≥＝＝＋， 当且仅当＝， 即a＝2－，b＝2－2时等号成立，故D正确． 6．(2023·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　) A．ab≥ B．ab≤ C.＋≥4 D.2≤ 答案　BCD 解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切， 所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1， 即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0， 因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1， 所以ab≤＝，即A错误，B正确； 因为a2＋b2＝1， 所以＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2＝4 ，即C正确； 因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1， 所以2＝≤＝ (当且仅当a＝b时取等号)，即D正确． 三、填空题 7．若对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案　{a|a≤4} 解析　对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立， 即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． 当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R； 当1<x≤4时，a≤＝x－1＋， ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋≥2 ＝4， ∴a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 8．运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是6 元/升，而汽车每小时耗油升，司机的工资是24 元/时．则这次行车的总费用最低为________元． 答案　260 解析　设所用时间为t＝ 小时，这次行车的总费用为y元． 则由题意知y＝×6×＋24×＝＋，x∈[50,100]． y＝＋≥2＝260， 当且仅当＝，即x＝60时等号成立． 故当x＝60千米/时，这次行车的总费用最低，最低为260元． 四、解答题 9．已知正实数x，y满足等式x＋y＝2. (1)若不等式＋≥m2＋4m恒成立，求实数m的取值范围； (2)求＋的最小值． 解　(1)因为正实数x，y满足等式x＋y＝2，所以＋＝××(x＋y) ＝≥， 当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时， 取得最小值， 所以m2＋4m≤，－≤m≤. (2)由已知＋＝＋＝2－1， 又＋≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号， 所以2－1≥8， 所以＋的最小值为8. 10．已知福州地铁2号线通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为400人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为p(t)． (1)求p(t)的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－150(元)．问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 解　(1)当2≤t<10时，设p(t)＝400－k(10－t)2，则p(2)＝400－64k＝272，解得k＝2， 由题意可得p(t)＝ 所以发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为 p(6)＝400－2×42＝368(人)． (2)当2≤t<10时，Q＝－150＝－150＝330－≤330－2＝90(元)， 当且仅当t＝5时，等号成立； 当10≤t≤20时，Q＝－150＝－150，此时函数Q＝－150单调递减， 则Q≤－150＝30(元)，当且仅当t＝10时，等号成立， 综上所述，当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大． 学科网（北京）股份有限公司 $