7.2 第2课时 离散型随机变量的分布列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

第2课时　离散型随机变量的分布列 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 　进一步理解离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 题型（一）　离散型随机变量的分布列 [例1]　今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列. 解：由题意易知X的可能取值为0，1，2，3， 则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　　[变式拓展] 　本例条件不变，若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列. 解：由题意易知ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 则P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）===， P（ξ=3）==， P（ξ=4）==， 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量分布列的步骤 （1）根据问题设出一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值. （2）求随机变量X的每一个取值对应的概率. （3）用解析式或表格表示X的分布列. [注意]　利用所有概率之和是否为1检验分布列的正误. 　　[针对训练] 1.已知袋中有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记X=则X的分布列为　　　　.  解析：由题意得，P（X=0）==，P（X=1）==. 所以X的分布列为 X 0 1 P 答案： X 0 1 P 2.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答错误得0分，第三个问题回答正确得20分，回答错误得-10分.已知一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功. （1）求至少回答正确一个问题的概率； （2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X（单位：分）的分布列； （3）求这位挑战者闯关成功的概率. 解：（1）用事件A表示“至少回答正确一个问题”，则P（A）=1-××=. （2）X的可能取值为-10，0，10，20，30，40. P（X=-10）=××=， P（X=0）=×××=， P（X=10）=×=， P（X=20）=××=， P（X=30）=×××=， P（X=40）=×=. 所以X的分布列为 X -10 0 10 20 30 40 P （3）这位挑战者闯关成功的概率为P（X≥10）=1-P（X=-10）-P（X=0）=1--=. 题型（二）　分布列的性质及其应用 [例2]　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m （1）求随机变量η=|X-1|的分布列； （2）求随机变量ξ=X2的分布列. 解：（1）由分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3， 列表为 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 即随机变量η的可能取值为0，1，2，3，可得P（η=0）=P（X=1）=0.1，P（η=1）=P（X=0）+P（X=2）=0.2+0.1=0.3，P（η=2）=P（X=3）=0.3， P（η=3）=P（X=4）=0.3， 故η=|X-1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）列表得 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 即随机变量ξ=X2的可能取值为0，1，4，9，16. 从而ξ=X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 　　|思|维|建|模| 分布列的性质及其应用 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 　　[针对训练] 3.设随机变量X的分布列P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则P（X≥4）= （　　） A. B. C. D. 解析：选A　P（X=k）===，∵P（X=k）=1，∴×==1.则m=，∴P（X≥4）=×=. 4.某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k（k∈N）个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p（k），根据统计得到p（k）=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选B　由题意知，p（0）+p（1）+p（2）+p（3）+p（4）=1，则p（0）=p（0）=1，解得p（0）=，即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $