7.2 第1课时 离散型随机变量及其分布列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

7.2　离散型随机变量及其分布列 第1课时　离散型随机变量及其分布列 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 　　理解随机变量及离散型随机变量的含义；掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质；理解两点分布. 逐点清（一）　随机变量的概念及表示 [多维理解] 1.相关概念 随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量 离散型随机变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量 表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z 2.离散型随机变量的特征 （1）可用数值表示. （2）试验之前可以判断其出现的所有值. （3）在试验之前不能确定取何值. （4）试验结果能一一列出. [微点练明] 1.[多选]下列变量是随机变量的是 （　　） A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 B.一台机器在一段时间内出现故障的次数 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D.方程x2-2x-3=0的实根个数 解析：选ABC　随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A、B、C都符合随机变量的定义；方程x2-2x-3=0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误. 2.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是 （　　） A.某足球队在5次点球中进球的次数 B.某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D.某高中每年参加高考的人数 答案：AD 3.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为 （　　） A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为4点，第二枚为1点 解析：选C　由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，因此“X>4”只有一种情况，也就是“X=5”，所以“X>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点. 4.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数为X. （1）写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； （2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型. 解：（1）X的所有可能的取值为0，1，2，3. “X=0”表示取出3个黑球；“X=1”表示取出1个白球2个黑球； “X=2”表示取出2个白球1个黑球；“X=3”表示取出3个白球. （2）由题意可得Y=5X+6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的各值是6，11，16，21，故Y的可能取值为6，11，16，21，显然Y为离散型随机变量. 逐点清（二）　离散型随机变量的分布列 [多维理解] 1.定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 2.表示 与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示（如表），还可以用图形表示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3.性质 （1）pi≥0，i=1，2，…，n； （2）p1+p2+…+pn=1. |微|点|助|解| 　　离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础. （1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和. （2）离散型随机变量的分布列的性质可以检查所写分布列是否正确. [微点练明] 1.已知随机变量X的分布列如表所示（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是 （　　） A.P（X<2）=0.7 B.P（X≥2）=0.6 C.P（X≥3）=0.3 D.P（X≤1）=0.2 解析：选C　易得a=0.1，P（X≥3）=0.3. 2.已知随机变量X的分布列如表所示，则P（X=2）= （　　） X 1 2 3 P a 2a 3a A. B. C. D. 解析：选C　依题意得a+2a+3a=1，解得a=，所以P（X=2）=2×=. 3.投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X，则X的分布列为 （　　） X 1 2 P A. X 0 1 P B. X 0 1 2 P C. X 0 1 2 P D. 解析：选C　因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，X的取值可能为0，1，2.P（X=0）=×=，P（X=1）=2××=，P（X=2）=×=，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 4.已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则实数m的值为　　　　.  解析：由离散型随机变量分布列的性质，得m+++=1，解得m=. 答案： 逐点清（三）　两点分布 [多维理解] 　　对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P（A）=p，则P（）=1-p，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1-p p 　　我们称X服从两点分布或0-1分布. |微|点|助|解| 两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（2）由对立事件的概率可知P（X=0）+P（X=1）=1. [微点练明] 1.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是 （　　） A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射击手射击一次，击中目标的次数X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X= D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 解析：选A　由题意可知B、C、D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A. 2.若离散型随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=4-5P（X=0）=p，则p= （　　） A. B. C. D. 解析：选D　由题意得P（X=0）=1-p.∵4-5P（X=0）=p，∴4-5（1-p）=p，解得p=.故选D. 3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P（X=1）等于 （　　） A.0 B. C. D. 解析：选D　设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 X 0 1 P p 2p 由p+2p=1，得p=，所以P（X=1）=2p=. 4.在射击试验中，令X=如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为　　　　.  解析：由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.1 0.9 答案： X 0 1 P 0.1 0.9 学科网（北京）股份有限公司 $