7.2离散型随机变量及其分布列导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布学案 7.离散型随机变量及其分布列 导学案 【学习目标】1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． 2．掌握离散型随机变量的分布列的性质． 3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 【问题导学】 问题1 ：随机试验的样本点是否与数值有直接关系？如果没有能否指定一个数值？随机试验的结果能否用一个变量表示？ 问题2：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数，如何描述？ 问题3：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数，如何描述？ 【知识构建】 知识点一：随机变量的定义 一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点 ，都有唯一的实数 与之对,我们称X为随机变量. 知识点二：离散型随机变量的定义 可能取值为有限个或可以 列举的随机变量,我们称为 随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量 用小写字母表示随机变量可取的值，例如 知识点三：随机变量的分类： （1） 离散型随机变量：X的值可以 列出： （2） 连续型随机变量：X的值可以某个区间内的 的值； 知识点四：离散型随机变量的分布列 一般地，当离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn时，我们称X取每一个值xi的概率 , i∈{1,2，…，n}，为X的概率分布列． 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或 ． X x1 x2 … xk … xn P … … 知识点五：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1） （2） 知识点六：两点分布列： 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义 如果，则，那么的分布列如表所示． 0 1 我们称X服从 （two-point distribution）或 分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）． 【应用举例】 【例1】一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X ， 【例2】某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示． 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及． 【例3】 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 【变式训练】某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【随堂检测】 1．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记，得（    ） A．0 B． C． D． 2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 3．已知离散型随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D．1 4．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝________． 5．在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，表示向上的点数，的取值有哪些？取每个值的概率分别是多少？ 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布学案 7.离散型随机变量及其分布列 导学案 【学习目标】1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． 2．掌握离散型随机变量的分布列的性质． 3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 【问题导学】 问题1 ：随机试验的样本点是否与数值有直接关系？如果没有能否指定一个数值？随机试验的结果能否用一个变量表示？ 问题2：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数，如何描述？ 问题3：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数，如何描述？ 【知识构建】 知识点一：随机变量的定义 一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对,我们称X为随机变量. 知识点二：离散型随机变量的定义 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量 用小写字母表示随机变量可取的值，例如x，y，z. 知识点三：随机变量的分类： （1） 离散型随机变量：X的值可以一、一列出： （2） 连续型随机变量：X的值可以某个区间内的所有的值； 知识点四：离散型随机变量的分布列 一般地，当离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn时，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi, i∈{1,2，…，n}，为X的概率分布列． 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 知识点五：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： ； . 知识点六：两点分布列： 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义 如果，则，那么的分布列如表所示． 0 1 我们称X服从两点分布（two-point distribution）或0-1分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）． 【应用举例】 【例1】一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X ， 【分析】这是一个两点分布（0-1 分布）的问题，随机变量X只有两个取值：0 和 1。 抽到次品的概率（即X=1的概率）：已知次品率为 5%，所以P(X=1)=0.05。 抽到正品的概率（即X=0的概率）：P(X=0)=1−P(X=1)=1−0.05=0.95。 X的分布列. X 0 1 P 0.95 0.05 【答案】X的分布列为P(X=0)=0.95，P(X=1)=0.05. 【例2】某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示． 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及． 【解析】步骤 1：确定随机变量X的取值 X的取值为 1、2、3、4、5，分别对应不及格、及格、中等、良好、优秀这五个等级。 步骤 2：计算每个取值对应的概率 总人数为20+50+60+40+30=200人。 P(X=1)==0.1 P(X=2)==0.25 P(X=3)==0.3 P(X=4)==0.2 P(X=5)==0.15 步骤 3：写出分布列 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.25 0.3 0.2 0.15 步骤 4：计算P(X≥4) P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.2+0.15=0.35 【例3】 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 【解析】步骤 1：确定随机变量的取值 设随机变量X表示取出的 2 台电脑中 A 品牌的台数，则X的可能取值为0、1、2。 步骤 2：计算每个取值的概率 根据古典概型的知识：; 步骤 3：写出分布列 这2台电脑中A品牌台数的分布列为: X 0 1 2 P 【变式训练】某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据古典概型的概率公式求解概率，即可列出分布列. 【详解】解  将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4． ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 【随堂检测】 1．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记，得（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用两点分布的性质求解即可. 【详解】由题意知，可设， 则，又，解得， 故. 故选：C. 2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用分布列的概念及性质，即的取值应互不相同且逐项判断即可. 【详解】对于A，的取值出现了重复性，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的取值互不相同，且，故D正确. 故选：D. 3．已知离散型随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由随机变量的分布列求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 4．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝________． 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率之和等于1列式计算即得. 【详解】由分布列性质，得，解得. 故答案为：. 5．在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，表示向上的点数，的取值有哪些？取每个值的概率分别是多少？ 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【详解】的取值有1,2,3,4,5,6 取每个值的概率列成表的形式如下 1 2 3 4 5 6 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $