7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

第2课时　条件概率的性质及应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. 2.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质. 题型（一）　乘法公式 　 　对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）. （1）P（AB）表示A，B都发生的概率，P（B|A）表示A先发生，然后B发生. （2）在P（B|A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）中，样本空间为所有事件的总和. （3）当P（B|A）=P（B）时，事件A与事件B是相互独立事件. [例1]　已知10件产品中有7件正品，3件次品，按不放回抽样，每次抽一个，抽取两次，记事件A表示“第一次取到次品”，事件B表示“第二次取到次品”. （1）求两次都取到次品的概率； （2）求第二次才取到次品的概率； （3）判断事件A与事件B是否独立. 解：（1）由题意得P（A）=，P（B|A）=， 所以P（AB）=P（A）P（B|A）=×=. （2）由（1）知P（）=，P（B|）=，所以P（B）=P（）P（B|）=×=. （3）由题意，得P（B）=P（AB）+P（B）=+=.因此P（AB）≠P（A）P（B），即事件A与事件B不独立. 　　|思|维|建|模| 应用乘法公式求概率的关注点 （1）功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P（AB）时，可先求出P（A）及P（B|A）或先求出P（B）及P（A|B），再利用乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）求解. （2）推广：设A，B，C为三个事件，且P（AB）>0， 则有P（ABC）=P（C|AB）P（AB）=P（C|AB）·P（B|A）P（A）. 　　[针对训练] 1.已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件产品是一级品的概率为 （　　） A.75% B.96% C.72% D.78.125% 解析：选C　记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P（A）=1-P（）=1-4%=96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以P（AB）=P（B）.由合格品中75%为一级品，知P（B|A）=75%，P（B）=P（AB）=P（A）P（B|A）=96%×75%=72%. 2.已知事件A，B，且P（A）=，P（B）=，P（A|B）=，则P（B|A）= （　　） A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　因为P（B）=，P（A|B）=，所以P（AB）=P（B）P（A|B）=×=.因为P（A）=，所以P（B|A）===. 3.有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为　　　　.  解析：设A=“种子发芽成功”，B=“种子能成长为幼苗”.根据题意知P（A）=0.8，P（B|A）=0.7，故由P（B|A）=知P（AB）=P（A）P（B|A）=0.8×0.7=0.56.又B⊆A，故P（B）=P（AB）=0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56. 答案：0.56 题型（二）　互斥事件的条件概率 [例2]　在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 法一　∵P（A）=，P（AB）==， P（AC）==， ∴P（B|A）===， P（C|A）===. ∵事件B与C互斥， ∴P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）=+=.故所求的概率为. 法二　∵n（A）==9， n[（B∪C）∩A]=+=5， ∴P（B∪C|A）=. 故所求的概率为. 　　|思|维|建|模| （1）利用加法公式可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”. （2）为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 　　[针对训练] 4.若B，C是互斥事件且P（B|A）=，P（C|A）=，则P（B∪C|A）等于 （　　） A. B. C. D. 解析：选D　因为B，C是互斥事件，所以P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）=+=. 5.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率. 解：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D=B∪C，且B与C互斥，易求得P（A）==， P（AB）==，P（AC）==， 故P（D|A）=P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）=+=. 学科网（北京）股份有限公司 $