第04讲 条件概率与全概率公式（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版选择性必修第三册）重难点讲义与测试

第04讲 条件概率与全概率公式 知识清单 知识点01：条件概率 知识点02：乘法公式 知识点03：全概率公式 知识点04：贝叶斯公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：条件概率 题型2：事件的独立性与条件概率的关系 题型3：全概率公式 题型4：贝叶斯公式 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.条件概率 一、条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 二、　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点2.乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 知识点3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式． 知识点4.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ = ，i＝1,2，…，n. 题型1：条件概率 【例1-1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 【例1-2】（25-26高二上·广西·月考）抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______. 【例1-3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）已知，，，求和. 【变式1-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·天津·月考）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.8，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.7．已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为___________．第三天不玩手机的概率为___________． 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）设箱子内有个白球和个黑球，在其中连续取三次，每次取出一个球，取球后不放回，求取出来的三个都是白球的概率． 题型2：事件的独立性与条件概率的关系 【例2-1】（25-26高二上·江西·期末）已知事件A与事件B相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知事件，相互独立，，，则______. 【例2-3】（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知事件相互独立，且，则__________. 【变式2-1】（24-25高二下·山东威海·期中）已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，则与______．（填“独立”或“不独立”） 【变式2-3】（24-25高三上·广东广州·期中）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是__________. 题型3： 全概率公式 【例3-1】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【例3-2】（25-26高二上·江西·期末）某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【例3-3】（2026高三·全国·专题练习）盒中有个红球，个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑色球的概率. 【变式3-1】（25-26高二上·安徽淮北·期末）2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为_______. 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）某地区某种疾病的患病率为．现有一种检测方法，患者检测阳性的概率为，健康人误诊阳性的概率为． (1)若某人检测阳性，求其真正患病的概率． (2)若连续两次检测均为阳性，求其真正患病的概率． 题型4： 贝叶斯公式 【例4-1】（25-26高二下·全国·课后作业）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为______. 【例4-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 【变式4-1】（24-25高二下·福建福州·期中）随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【变式4-3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）设，为两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 5．（25-26高二上·江西九江·期末）甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西渭南·期末）从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽滁州·期末）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 8．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高三下·重庆·专题练习）为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化简为 D．可化简为 10．（24-25高二下·湖北荆州·期末）甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大 D．第二次抽到2号球的概率为 三、填空题 12．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，，，则_______. 13．（25-26高三上·天津西青·期末）某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 14．（2026高三·全国·专题练习）如图为一个正八面体，用事件A表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件B满足，，则_________． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件．已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率． 16．（22-23高三上·山东潍坊·月考）从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，． (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率． ①证明：； ②求． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一个骰子决定选盒，出现1、2或3点选甲盒，4、5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率． 18．（2025高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中红球6个，绿球4个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回． (1)对于事件，当时，求证：； (2)若某同学摸球三次，请利用（1）中的结论，求三次都摸到绿球的概率． 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 条件概率与全概率公式 知识清单 知识点01：条件概率 知识点02：乘法公式 知识点03：全概率公式 知识点04：贝叶斯公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：条件概率 题型2：事件的独立性与条件概率的关系 题型3：全概率公式 题型4：贝叶斯公式 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.条件概率 一、条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 二、　条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 知识点2.乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式． 知识点3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式． 知识点4.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ = ，i＝1,2，…，n. 题型1：条件概率 【例1-1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题，，， 所以， . 故选：C. 【例1-2】（25-26高二上·广西·月考）抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______. 【答案】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）已知，，，求和. 【答案】， 【分析】根据条件概率公式，即可求解. 【详解】； 因为，所以. 【变式1-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件选取的两球有一个球的编号为，事件选取的两个球中另一个球的编号也为， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高三上·天津·月考）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.8，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.7．已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为___________．第三天不玩手机的概率为___________． 【答案】 0.2 0.7 【分析】根据给出的条件概率，推出第二天、第三天的概率即可. 【详解】已知第一天没玩手机，则第二天玩手机的概率为； 第三天不玩手机分为两种情况： （1）第一天没玩手机第二天没玩手机第三天没玩手机，此时概率为； （2）第一天没玩手机第二天玩手机第三天没玩手机，此时概率为； 综上，第三天不玩手机的概率为. 故答案为：0.2；0.7. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）设箱子内有个白球和个黑球，在其中连续取三次，每次取出一个球，取球后不放回，求取出来的三个都是白球的概率． 【答案】 【分析】利用条件概率公式和概率的乘法公式求解即可 【详解】记事件为“第i次取得白球”，，2，3． 显然． 若第一次取得白球，箱内只剩下个白球和b个黑球，则． 若第一、二次取得白球，箱内只剩下个白球和b个黑球，． 由概率的乘法公式得． 故答案为： 题型2：事件的独立性与条件概率的关系 【例2-1】（25-26高二上·江西·期末）已知事件A与事件B相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率公式，求得，独立事件的概率公式和条件概率的公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且， 则. 故选：A. 【例2-2】（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知事件，相互独立，，，则______. 【答案】/ 【分析】先利用独立事件的性质求出 ，再通过条件概率公式完成计算即可. 【详解】由 相互独立，得 ， 代入 ，，则，即， 因为， 所以 . 故答案为： 【例2-3】（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知事件相互独立，且，则__________. 【答案】/ 【分析】根据事件相互独立可知，再根据求解即可. 【详解】因为事件相互独立，, 所以， 所以 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二下·山东威海·期中）已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立的概率公式可得，再根据相互独立事件的性质求解条件概率即可. 【详解】因为事件与独立，所以， 因为，所以， 所以（事件与独立，故事件与独立）. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，则与______．（填“独立”或“不独立”） 【答案】不独立 【分析】根据相互独立事件的概率公式，结合条件概率公式即可判断. 【详解】与独立的充要条件为， 又因为， 所以与独立的充要条件是， 根据已知条件：，所以与不独立． 故答案为：不独立 【变式2-3】（24-25高三上·广东广州·期中）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是__________. 【答案】 【分析】求出前两局甲胜以及甲第一局和第三局胜，第二局输的概率，根据条件概率的概率公式即可求得答案. 【详解】在A先胜一局的条件下，A再胜第二局，即前两局A胜的概率为， A第一局和第三局胜，第二局输的概率为， 所以在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是. 故答案为： 题型3： 全概率公式 【例3-1】（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 【例3-2】（25-26高二上·江西·期末）某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【答案】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 【例3-3】（2026高三·全国·专题练习）盒中有个红球，个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑色球的概率. 【答案】 【分析】设{第一次抽出的是黑球}，{第二次抽出的是黑球}，则，分别求出相关事件的概率，再利用全概率公式计算即可. 【详解】设{第一次抽出的是黑球}，{第二次抽出的是黑球}，则， 由题意知，，，，， 由全概率公式得． 【变式3-1】（25-26高二上·安徽淮北·期末）2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件表示“第一次去甲影院”，事件表示“第二次去甲影院”，事件表示“第一次去乙影院”，事件表示“第二次去乙影院”， 所以，，，, 由全概率公式得, 由贝叶斯公式得==. 【变式3-2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为_______. 【答案】 【分析】考虑到次品可能来源于两个车间，根据全概率公式即可求得答案. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品是次品， 则 , , 故取到次品的概率为. 故答案为：. 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）某地区某种疾病的患病率为．现有一种检测方法，患者检测阳性的概率为，健康人误诊阳性的概率为． (1)若某人检测阳性，求其真正患病的概率． (2)若连续两次检测均为阳性，求其真正患病的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先用字母表示事件，根据全概率公式求事件的概率. （2）两次检测为阳性记作事件A，所求事件的概率即为，然后利用全概率公式及贝叶斯公式计算. 【详解】（1）设D表示患病，T表示检测阳性． 则,， 患者检测阳性的概率，健康人误诊阳性的概率， . , 所以 （2）设“两次检测均为阳性”记为事件A， 则 所以在连续两次检测均为阳性，真正患病的概率为 . 题型4： 贝叶斯公式 【例4-1】（25-26高二下·全国·课后作业）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式，条件概率公式及贝叶斯公式可得. 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 【例4-2】（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为______. 【答案】 【分析】根据条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 【例4-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 【答案】， 【分析】根据全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设第条流水线生产的产品，；抽到不合格品， 则， ． ①． ②． 所以恰好抽到不合格品的概率为，该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为. 【变式4-1】（24-25高二下·福建福州·期中）随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 【变式4-2】（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）设，为两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算求解. 【详解】． 故选：C. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解即可. 【详解】因为. 故选：A． 3．（2025高二下·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 4．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 5．（25-26高二上·江西九江·期末）甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件，根据得出，再利用全概率公式求出即可. 【详解】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件， 由题意知，，，即， 所以， 又因为，所以. 故选：B 6．（25-26高一上·陕西渭南·期末）从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出百位数字为奇数（事件）的基本事件数及百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数，代入条件概率的计算公式计算即可. 【详解】. 百位数字为奇数即从1，3，5中选1个数放在百位，有种选法， 十位和个位从剩下的4个数中选2个排列，有种排法， 则事件包含的基本事件数为种. 百位数字为奇数且该数能被5整除，即个位固定为5，百位从1，3中选1个，有种选法， 十位从剩下的3个数字中选1个，有种选法， 则百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数为种. 因此，. 故选：A. 7．（25-26高二上·安徽滁州·期末）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 8．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 二、多选题 9．（2026高三下·重庆·专题练习）为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化简为 D．可化简为 【答案】AC 【详解】由列联表可知，， 所以，，故A正确、B错误． 已知，，则， 由条件概率公式，所以 ，故C正确、D错误． 10．（24-25高二下·湖北荆州·期末）甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可推导得到及之间的关系，知A正确,B错误；根据题干得到递推关系可知C正确;再构造等比数列，由此可得，采用作差法可求得D正确. 【详解】对于A：因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以， 又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，A正确； 对于B：因为第次触球者是甲的概率为， 所以，故当时，， 当时，，可知，故B错误； 对于C：由选项B中等式，可得，C正确； 对于D：因为，即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以，故； 故； 故选：ACD 11．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大 D．第二次抽到2号球的概率为 【答案】AC 【分析】利用隔板法求得将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子的方法数判断A；求得第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率判断B；分别求得两次都取到1号球的概率与两次都取到2号球的概率判断C；求得第二次抽到2号球的概率判断D. 【详解】若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有种，故A正确； 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，故B错误； 两次都取到1号球的概率为， 两次都取到2号球的概率为，又 所以两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大，故C正确； 第二次抽到2号球的概率为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，，，则_______. 【答案】/ 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求出的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 13．（25-26高三上·天津西青·期末）某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 【答案】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设表示首次选“驿站取件”，则， 表示首次选“上门配送”，则， 表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得， 第二空根据贝叶斯公式可得. 故答案为：， 14．（2026高三·全国·专题练习）如图为一个正八面体，用事件A表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件B满足，，则_________． 【答案】 【分析】利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式计算即可得. 【详解】事件A表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”， 若事件B满足，，由题意得， 因为， 所以， 即，所以， ， 所以． 故答案为：． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件．已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率． 【答案】0.397 【分析】根据全概率公式求出事件“取到合格品”的概率，再利用贝叶斯公式即可求出已知取到的是合格品，它取自第一批产品的概率. 【详解】设事件为“取到合格品”，事件为“取到的产品来自第i批”（，2）， 则，，，， 则． 已知取到的是合格品，它取自第一批产品的概率为： ． 16．（22-23高三上·山东潍坊·月考）从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，． (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率． ①证明：； ②求． 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【分析】（1）所求概率为，由条件概率的公式计算. (2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率. 【详解】（1）由条件概率公式可得； 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为； （2）①由条件概率乘法公式 可得， 由,可得, 所以 ②由①可得 = ，所以． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一个骰子决定选盒，出现1、2或3点选甲盒，4、5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率． 【答案】 【分析】根据贝叶斯概率公式和全概率公式，即可求解. 【详解】设摸出的球来自甲盒，摸出的球来自乙盒，摸出的球来自丙盒， 摸得白球， 则， ， 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为． 18．（2025高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中红球6个，绿球4个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回． (1)对于事件，当时，求证：； (2)若某同学摸球三次，请利用（1）中的结论，求三次都摸到绿球的概率． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据（1）中结论，由条件概率计算公式计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，得证． （2）记事件“第次摸到绿球”为． 由题意可知，，． 由（1）中结论， 可得． 答：求三次都摸到绿球的概率为． 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 【答案】当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是；病人患有疾病较为合理． 【分析】首先根据条件写出事件的概率和条件概率，再根据全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】以表示事件“具有中的某些症状”， 表示事件“患者患有疾病”，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知 ， ， ． 从而 ． 当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是； 由贝叶斯公式得 ， ， ， 从而推测病人患有疾病较为合理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $