7.1.1 第1课时 条件概率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式　　 7.1.1　条件概率　　 　　　　　　　　　　　　 第1课时　条件概率 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　结合古典概型，了解条件概率的定义；利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. |微|点|助|解| （1）P（B|A）与P（A|B）意义不同，由条件概率的定义可知P（B|A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P（A|B）表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率. （2）P（B|A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B|A）是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A与B同时发生的概率，P（A）是事件A的概率，P（B|A）与P（B）不一定相等. 基础落实训练 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）P（B|A）<P（AB）. （　　） （2）事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生. （　　） （3）P（A|A）=0. （　　） （4）P（B|A）=P（A|B）. （　　） 答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.已知P（AB）=，P（A）=，则P（B|A）为 （　　） A. B. C. D. 答案：B 3.夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为，且两地同时下雨的概率为，则在夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨， 则P（A）=，P（B）=，P（AB）=， 所以P（A|B）===.故选C. 4.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，设事件A为“第一次出现正面”，事件B为“第二次出现正面”，求P（A|B）与P（B|A）. 解：由题意可知，事件A包含的样本点为（正，正），（正，反），事件B包含的样本点为（正，正），（反，正），事件AB所包含的样本点为（正，正），所以P（A|B）==，P（B|A）==. 题型（一）　条件概率的概念 [例1]　下列命题是条件概率的为 （　　） A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 解析：选C　由条件概率的定义：某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率.选项A，甲、乙各投篮一次都投中的概率，不是条件概率；选项B，抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项C，甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项D，一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率. 　　|思|维|建|模| 　　判断是不是条件概率，主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件下进行的. 　　[针对训练] 1.[多选]下列命题是条件概率的为 （　　） A.某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一不同的项目，已知一名女生获得冠军，则高一的女生获得冠军的概率 B.掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率 C.在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的条件下，求抽到的是梅花5的概率 D.商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率 答案：AC 2.若P（）=，P（B|A）=，则P（AB）= （　　） A. B. C. D. 解析：选C　∵P（）=，∴P（A）=1-=，又P（B|A）=， 则P（AB）=P（B|A）P（A）=×=. 题型（二）　求条件概率 方法1　利用定义求条件概率 [例2]　现有4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为　　　　.  解析：设事件A表示“男生甲被选中”，事件B表示“女生乙被选中”，则由题意可得P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==.故在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为. 答案： 　　|思|维|建|模| 利用定义计算条件概率的步骤 （1）分别计算概率P（AB）和P（A）. （2）代入公式得P（B|A）=.这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 　　[针对训练] 3.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选B　设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”，事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”，则P（A）==，P（AB）==，则P（B|A）==. 方法2　缩小样本空间求条件概率 [例3]　集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从集合A中任取一个数，若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记为（a，b），甲抽到奇数的情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），共15种情况.在这15种情况中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，4），（3，5），（3，6），（5，6），共9种情况，所以所求概率为P==. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，求乙抽到偶数的概率. 解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），共9种情况，所以所求概率为P==. 2.本例条件“若甲先取（不放回），乙后取”变为“若甲先取（放回），乙后取”.事件A为“甲抽到的数大于4”，事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P（B|A）. 解：甲抽到的数大于4的情形有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共12种情况，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有（5，2），（6，1），共2种情况.所以P（B|A）==. 　　|思|维|建|模| 利用缩小样本空间法求条件概率的步骤 （1）缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. （2）数：数出A中事件AB所包含的样本点数. （3）算：利用P（B|A）=求得结果. 　　[针对训练] 4.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，进行不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P（B|A）. 解：将3个一等品编号为1，2，3，二等品编号为4，以（i，j）表示第一次、第二次分别取得第i号、第j号产品，则试验的样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，事件A有9个样本点，事件AB有6个样本点，P（B|A）===. 学科网（北京）股份有限公司 $