专题07 全概率公式5种常见考法归类讲义（37题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题07 全概率公式5种常见考法归类（37题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 全概率公式的计算 考点二 两个事件的全概率问题 考点三 多个事件的全概率问题 考点四 贝叶斯公式的应用 考点五 全概率公式与数列的综合 知识点1 全概率公式 1.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式. 注：全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集. （2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具. （3）全概率也是条件概率. 知识点2 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 策略方法 1.全概率公式核心思想：由因推果 (1)本质：把一个复杂事件B的概率，拆成若干个互斥且完备的“原因事件”分别发生的概率，再乘以在每个原因下B发生的条件概率，最后相加。 (2)口诀：全概率，分情况，先因后果加权和。 (3)适用场景：结果B的发生依赖于多种“前提情况”，每种情况概率已知，且这些情况不重叠、不漏掉（构成完备事件组）。 2.全概率公式完整条件（必背） 设满足： (1) 两两互斥： (2) 完备性：（覆盖所有可能） (3) (3) 则对任意事件B，有： 3.全概率公式解题标准步骤 (1)拆分样本空间 找到导致B发生的所有互斥、完备的前提情况（最关键）。 (2)计算先验概率 求每种前提发生的概率：。 (3)计算条件概率 求在每种前提下，结果B发生的概率：。 (4)加权求和 代入公式：。 4.两类高频基础模型 （1）两分支全概率（最简单、最常考） 将样本空间拆为与： 适用：合格/次品、男生/女生、甲车间/乙车间、发病/不发病。 （2）多分支全概率（3类及以上） 适用：甲/乙/丙车间、三类题目、多个箱子、多个来源。 5.贝叶斯公式：由果推因（全概率逆运算） 公式 其中分母用全概率公式算出。 理解 (1)已知结果B发生，反推是第个原因导致的概率。 (2)口诀：贝叶斯，看结果，分子是这条支路，分母是全概率。 适用场景 (1)抽到次品，求是甲车间生产的概率； (2)检测阳性，求真患病的概率； (3)抽到红球，求是从第二个箱子取的概率。 6.全概率+贝叶斯综合解题流程 (1)用全概率求（结果发生的总概率）； (2)用贝叶斯求（已知结果，反推某原因概率）； (3)两步连算，构成“先总后逆”的完整逻辑。 7.全概率公式的典型题型与固定套路 （1）多批次、多来源问题（工厂/产品/题库） (1)拆：甲车间，乙车间，丙车间 (2)算：各车间产量占比、各车间合格率 (3)求：总合格率 （2）摸球、不放回、二次抽取问题 (1)拆：第一次摸到红/白/黑球 (2)算：第一次概率，第二次在该情况下的条件概率 (3)求：第二次摸到某色球的总概率 （3）比赛、闯关、系统可靠性 (1)拆：第1局胜/负、第1次成功/失败 (2)算：两种情况下后续事件的条件概率 (3)求：最终获胜/通关概率 （4）医学检验、预警系统 (1)拆：患病、不患病 (2)算：患病率、真阳性率、假阳性率 (3)求：总阳性率、阳性条件下真患病 8.全概率公式与数列综合 核心思路 第次的概率依赖第次的状态，用全概率建立递推关系： 步骤 (1)设为第天在A地/选A项目/取到某球的概率； (2)根据转移规则写出条件概率； (3)用全概率列递推式：； (4)构造等比数列求通项。 9.条件概率、乘法公式、全概率、贝叶斯关系网 (1)条件概率： (2)乘法公式： (3)全概率： (4)贝叶斯： 10.高频易错点（逐条避坑） (1)拆分不完备或不互斥：导致重复/漏掉情况； (2)搞反条件：把写成； (3)贝叶斯忘记算分母：直接用当结果； (4)不放回抽样不更新数量与概率； (5)数列题写错转移概率与递推式； (6)多分支求和漏加某一项。 11.快速判断口诀 (1)结果依赖多情况，全概率公式上 (2)互斥完备要做到，加权求和不能少 (3)已知结果找原因，贝叶斯公式算分明 (4)分子单条支路积，分母全概率来兜底 考点一 全概率公式的计算 1．（2026高二·山东济宁·期中）已知随机事件A，B，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海徐汇·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 3．（2026高二·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 4．【多选】（2026高二·广东广州·期中）设是同一概率空间中的随机事件，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 两个事件的全概率问题 5．（2026高二·江苏徐州·期中）篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱.据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（    ） A．0.37 B．0.46 C．0.54 D．0.75 6．（2026高二·福建莆田·期中）甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 7．（2026高二·江苏镇江·期中）已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，甲､乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·重庆渝北·期中）有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（    ） A． B． C． D． 考点三 多个事件的全概率问题 9．（2026高二·河南·期中）某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 11．（2026高二·广东东莞·期中）某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 12．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 13．（2026高二·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 14．（2026高二·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 15．（2026高二·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 16．（2026高二·福建莆田·期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. (1)若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； (2)若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 考点四 贝叶斯公式的应用 17．（2026高二·河北衡水·期中）某工厂有甲､乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的和.已知甲生产线次品率为，乙生产线次品率为.现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来自甲生产线的概率为（    ） A．0.375 B．0.429 C．0.571 D．0.625 18．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 20．（2026·天津·模拟预测）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 21．（2026高二·广东广州·期中）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 22．（2026高二·重庆渝北·期中）某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 A 0.02 0.2 B 0.02 0.5 C 0.03 0.3 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率. 23．（2026高二·山东济宁·期中）某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 24．（2026高二·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 25．（2026高二·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 26．（2026·云南玉溪·模拟预测）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 27．（2026高二·山西晋中·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： (1)的值； (2)求的值； (3)求的值 28．（2026高二·重庆江津·月考）紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． (1)求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； (2)已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） (3)小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大． 29．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 30．（2026高三·贵州·月考）在信道内传输0,1信号，信号传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送一次，收到的信号即为译码；三次传输是指每个信号重复发送三次，收到信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到信号，则译码为1） (1)采用单次传输方案，若发送端依次发送，求接收端依次收到的概率； (2)若发送端发送信号0，要使接收端收到译码为0的概率更大，应该选择哪种方案发送信号？ (3)现发送端采用单次传输，连续两次发送信号，若接收到两次信号数字依次为1，1，令，求连续两次发送的信号为1，1的概率． 考点五 全概率公式与数列的综合 31．（2026高二·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 32．（2026高二·浙江·期中）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 33．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 34．（2026高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 35．（2026·江西·模拟预测）某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. (1)求与的值. (2)证明：. (3)求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 36．（2026·四川资阳·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 37．（2026高二·江苏徐州·期中）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求． $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题07 全概率公式5种常见考法归类（37题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 全概率公式的计算 考点二 两个事件的全概率问题 考点三 多个事件的全概率问题 考点四 贝叶斯公式的应用 考点五 全概率公式与数列的综合 知识点1 全概率公式 1.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式. 注：全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集. （2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具. （3）全概率也是条件概率. 知识点2 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 策略方法 1.全概率公式核心思想：由因推果 (1)本质：把一个复杂事件B的概率，拆成若干个互斥且完备的“原因事件”分别发生的概率，再乘以在每个原因下B发生的条件概率，最后相加。 (2)口诀：全概率，分情况，先因后果加权和。 (3)适用场景：结果B的发生依赖于多种“前提情况”，每种情况概率已知，且这些情况不重叠、不漏掉（构成完备事件组）。 2.全概率公式完整条件（必背） 设满足： (1) 两两互斥： (2) 完备性：（覆盖所有可能） (3) (3) 则对任意事件B，有： 3.全概率公式解题标准步骤 (1)拆分样本空间 找到导致B发生的所有互斥、完备的前提情况（最关键）。 (2)计算先验概率 求每种前提发生的概率：。 (3)计算条件概率 求在每种前提下，结果B发生的概率：。 (4)加权求和 代入公式：。 4.两类高频基础模型 （1）两分支全概率（最简单、最常考） 将样本空间拆为与： 适用：合格/次品、男生/女生、甲车间/乙车间、发病/不发病。 （2）多分支全概率（3类及以上） 适用：甲/乙/丙车间、三类题目、多个箱子、多个来源。 5.贝叶斯公式：由果推因（全概率逆运算） 公式 其中分母用全概率公式算出。 理解 (1)已知结果B发生，反推是第个原因导致的概率。 (2)口诀：贝叶斯，看结果，分子是这条支路，分母是全概率。 适用场景 (1)抽到次品，求是甲车间生产的概率； (2)检测阳性，求真患病的概率； (3)抽到红球，求是从第二个箱子取的概率。 6.全概率+贝叶斯综合解题流程 (1)用全概率求（结果发生的总概率）； (2)用贝叶斯求（已知结果，反推某原因概率）； (3)两步连算，构成“先总后逆”的完整逻辑。 7.全概率公式的典型题型与固定套路 （1）多批次、多来源问题（工厂/产品/题库） (1)拆：甲车间，乙车间，丙车间 (2)算：各车间产量占比、各车间合格率 (3)求：总合格率 （2）摸球、不放回、二次抽取问题 (1)拆：第一次摸到红/白/黑球 (2)算：第一次概率，第二次在该情况下的条件概率 (3)求：第二次摸到某色球的总概率 （3）比赛、闯关、系统可靠性 (1)拆：第1局胜/负、第1次成功/失败 (2)算：两种情况下后续事件的条件概率 (3)求：最终获胜/通关概率 （4）医学检验、预警系统 (1)拆：患病、不患病 (2)算：患病率、真阳性率、假阳性率 (3)求：总阳性率、阳性条件下真患病 8.全概率公式与数列综合 核心思路 第次的概率依赖第次的状态，用全概率建立递推关系： 步骤 (1)设为第天在A地/选A项目/取到某球的概率； (2)根据转移规则写出条件概率； (3)用全概率列递推式：； (4)构造等比数列求通项。 9.条件概率、乘法公式、全概率、贝叶斯关系网 (1)条件概率： (2)乘法公式： (3)全概率： (4)贝叶斯： 10.高频易错点（逐条避坑） (1)拆分不完备或不互斥：导致重复/漏掉情况； (2)搞反条件：把写成； (3)贝叶斯忘记算分母：直接用当结果； (4)不放回抽样不更新数量与概率； (5)数列题写错转移概率与递推式； (6)多分支求和漏加某一项。 11.快速判断口诀 (1)结果依赖多情况，全概率公式上 (2)互斥完备要做到，加权求和不能少 (3)已知结果找原因，贝叶斯公式算分明 (4)分子单条支路积，分母全概率来兜底 考点一 全概率公式的计算 1．（2026高二·山东济宁·期中）已知随机事件A，B，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】由，得：， 所以， 由，得， 则， 所以. 2．（2026·上海徐汇·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 3．（2026高二·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 4．【多选】（2026高二·广东广州·期中）设是同一概率空间中的随机事件，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知， 选项A:由条件概率公式， 得，故A错误; 选项B:由全概率公式， 得，故B正确; 选项C:由加法公式， 得，故C正确; 选项D:由条件概率，得. 因为 所以 当 时, ，D正确. 考点二 两个事件的全概率问题 5．（2026高二·江苏徐州·期中）篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱.据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（    ） A．0.37 B．0.46 C．0.54 D．0.75 【答案】A 【分析】结合全概率计算公式求解即可. 【详解】设两个部门分别为部门1、部门2，由人数比为， 可得抽到部门1的概率为，抽到部门2的概率为 ， 已知部门1喜欢篮球的概率为，部门2喜欢篮球的概率为， 根据全概率公式，随机抽取一人喜欢篮球的概率为： . 6．（2026高二·福建莆田·期中）甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 【答案】/ 【分析】记事件飞碟被人击中，事件飞碟被击落，则，，求出、的值，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件飞碟被甲击中，事件飞碟被乙击中，则，， 记事件飞碟被人击中，事件飞碟被击落，则，， 其中， ， 由全概率公式可得. 7．（2026高二·江苏镇江·期中）已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，甲､乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式结合题设可得答案. 【详解】设产品来自甲车间为事件，产品来自乙车间为事件，取到优品为事件C. 由题可得，，， 则由全概率公式，. 8．（2026高二·重庆渝北·期中）有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对第一次是不是打开装有款玩具的盒子分两种情况计算，再计算，最后利用条件概率公式即可求得. 【详解】由题意知，总共有6个盒子，3个装有款玩具， 则，，，， 所以， 而，所以. 考点三 多个事件的全概率问题 9．（2026高二·河南·期中）某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 10．（2026高二·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 11．（2026高二·广东东莞·期中）某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即可. 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . 12．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 【答案】/ 【分析】本题采用全概率公式求解，先按第一次取球的三种情况（取个新球）计算各自概率，再分别计算每种情况下第二次取个新球的条件概率，最后将各情况的概率与对应条件概率相乘后求和，得到第二次取到个新球的总概率． 【详解】第一次取到0个新球的概率为， 第一次取到1个新球的概率为， 第一次取到2个新球的概率为， 所以第二次所取出的球都是新球的概率 ； 13．（2026高二·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】(1)3； (2)； (3). 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 14．（2026高二·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件，“从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）记“从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品”为事件， 则. 故从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品的概率为. （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件， “从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件， 则两两互斥，且， 则，，， 所以. 故取出的这件产品是正品的概率为. 15．（2026高二·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． （2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 16．（2026高二·福建莆田·期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. (1)若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； (2)若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对立事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件密码被甲成功破译，事件密码被乙成功破译，事件密码被丙成功破译， 则，，， 若甲、乙、丙都去破译密码，则密码能被成功破译的概率为. （2）记事件密码被成功破译，记事件、、分别表示甲、乙、丙被选中， ，，，，， 由全概率公式可得 . 考点四 贝叶斯公式的应用 17．（2026高二·河北衡水·期中）某工厂有甲､乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的和.已知甲生产线次品率为，乙生产线次品率为.现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来自甲生产线的概率为（    ） A．0.375 B．0.429 C．0.571 D．0.625 【答案】A 【分析】设事件为零件来自甲生产线，为零件来自乙生产线，为抽到的零件为次品，由全概率公式求出，再由贝叶斯公式进行计算即可． 【详解】设事件为零件来自甲生产线，为零件来自乙生产线，为抽到的零件为次品， 由题意，得0.05. 所以由全概率公式得. 根据贝叶斯公式得0.375. 18．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 19．（2026高二·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 【答案】 /0.25 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解 【详解】记=“零件是第一台车床加工”，=“零件是第二台车床加工”， =“取出的零件是合格品”，=“取出零件是废品”； 第一台加工零件数是第二台的2倍，因此，； ，， 因此，， 任意取出零件是合格品的概率： 废品的总概率， 再代入贝叶斯公式：. 20．（2026·天津·模拟预测）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】根据独立事件的乘法公式计算可得第一空，利用全概率及贝叶斯公式可求第二空． 【详解】解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件， 则， 在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件， ， 设两轮比赛中只有两次猜对为事件， 则， 则这两次都是乙猜对的概率为． 21．（2026高二·广东广州·期中）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2)（i） ；（ii） 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可； （2）（i）利用全概率公式求解即可；（ii）利用贝叶斯公式计算即得. 【详解】（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”， 则 故 ； （2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则 ， 则 （ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 . 22．（2026高二·重庆渝北·期中）某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 A 0.02 0.2 B 0.02 0.5 C 0.03 0.3 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率. 【答案】(1)0.023 (2) 【分析】（1）通过全概率公式即可得结果； （2）根据即可得结果. 【详解】（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由A工厂提供的”，表示“所取到的元件是由B工厂提供的”，表示“所取到的元件是由C工厂提供的”， 则，，， ，，. 由全概率公式得 . （2）该元件出自C工厂的概率为 . 23．（2026高二·山东济宁·期中）某潮玩店推出了“数学家盲盒”，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款．已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的． (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶． （i）求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； （ii）如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）分别求出选到典藏盒和选到经典盒任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款的概率，利用全概率公式求解； （2）（i）先求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的概率，然后求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒的条件下，抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，最后计算求解；（ii）分别求出恰好买到一个典藏盒、一个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个典藏盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，购买到两个经典盒抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率，然后利用贝叶斯公式求解. 【详解】（1）设事件分别为选到典藏盒、经典盒，事件为任取2个玩偶恰好抽到1个隐藏款， ，， 所以. （2）（i）设事件为恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，事件为两个玩偶中只有1个隐藏款， ， ， 所以. （ii）设事件为购买到两个典藏盒，事件为购买到两个经典盒， ， ， 所以. ， ， 所以. ， . 24．（2026高二·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 25．（2026高二·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . 26．（2026·云南玉溪·模拟预测）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 27．（2026高二·山西晋中·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： (1)的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三台车床零件数量占比算出，再结合各自次品率，用全概率公式代入求和求出. （2）直接由题意得到第三台车床的条件次品率. （3）利用贝叶斯公式，用第二台车床加工次品的概率除以总次品概率，即可算出. 【详解】（1）已知，，. ，，. 由全概率公式：. （2）由题意直接得：. （3）由贝叶斯公式：. 28．（2026高二·重庆江津·月考）紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． (1)求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； (2)已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） (3)小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大． 【答案】(1) (2) (3)方案二 【分析】（1）把“首次抓取抓到良品”拆分成两个互斥事件，分别求出对应机器及相应机器抓取良品的概率，再利用全概率公式计算求解； （2）先计算总的通关概率，再计算首次选乙机器且通过的概率，再代入贝叶斯公式得出条件概率； （3）分别计算方案一和方案二的概率，再通过比较得出结论． 【详解】（1）设选取甲机器为事件，则，选取乙机器为事件，则， 抓到良品娃娃为事件，则，， 由全概率公式． （2）两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同： ； 首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为： ； 由贝叶斯公式计算条件概率得：． （3）方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为： ， 方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为： ， ， ，故方案二的通关概率更大． 29．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【答案】(1)0.0547 (2)（i）（ii）答案见解析 【详解】（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”． 由题知：，，，． 由全概率公式： 所以，触发预警的概率为0.0547． （2）（i）由贝叶斯公式： ， 所以，在预警条件下确实患病的概率约为． （ii）含义解释： 由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率， 它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题； 是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率， 反映了该手环识别真实病例的能力； 决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接． 理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号， 用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据． 而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险， 故对个人就诊决策的参考相对间接． 30．（2026高三·贵州·月考）在信道内传输0,1信号，信号传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送一次，收到的信号即为译码；三次传输是指每个信号重复发送三次，收到信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到信号，则译码为1） (1)采用单次传输方案，若发送端依次发送，求接收端依次收到的概率； (2)若发送端发送信号0，要使接收端收到译码为0的概率更大，应该选择哪种方案发送信号？ (3)现发送端采用单次传输，连续两次发送信号，若接收到两次信号数字依次为1，1，令，求连续两次发送的信号为1，1的概率． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算即可求解； （2）分别求出单次传输和三次传输的概率，作差比较得出答案； （3）记事件为连续两次发送的信号为1,1，事件为接收到两次信号依次为1,1，求出，，由全概率公式求出，再根据贝叶斯公式求解. 【详解】（1）由题，采用单次传输，若发送端依次发送，接收端依次收到的概率. （2）单次传输，发送0译码为0的概率， 三次传输，发送0译码为0需收到至少两个0，则概率， 所以，， 当时，，即，即，此时选择三次传输的概率更大； 当时，，此时选择两种方案都一样； 当时，，即，此时选择单次传输的概率更大. （3）设发送信号等可能为0或1，且相互独立，记事件为连续两次发送的信号为1,1， 事件为接收到两次信号依次为1,1， 则，， 由全概率公式， 所以. 所以连续两次发送的信号为1,1的概率为. 考点五 全概率公式与数列的综合 31．（2026高二·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 32．（2026高二·浙江·期中）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 【答案】(1)； (2)；； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用全概率公式求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式求出；再结合及构造法求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用条件概率公式列式求解. 【详解】（1）依题意，；，所以. （2）依题意，当时，，， 则，即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以的通项公式是. （3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出， 则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， ， 所以. 33．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示第次巡逻到区，利用全概率公式计算； （2）利用全概率公式得出，构造等比数列即可求出. 【详解】（1）用表示第次巡逻到区， 则，，， 第2次在区的情况分为两类： 第1次在区，第2次巡逻到区：， 第1次在区，第2次巡逻到区：， 由全概率公式，第2次在区的概率为：； （2）当时，若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 则第次在区的概率为：， 设，则，得，解得； 又因为，所以，    故数列是首项为、公比为的等比数列. 故，整理得. 34．（2026高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）运用全概率公式计算即可 （2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明. 【详解】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. （2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 35．（2026·江西·模拟预测）某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. (1)求与的值. (2)证明：. (3)求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算可得结果； （2）记事件为第次操作抽调到类部件，则，利用全概率公式计算可得，可得出结论； （3）利用两点分布以及公式计算可得，再构造数列，可知，再根据累加法计算可得结果. 【详解】（1）由题可知，. （2）证明： 设的所有可能取值为，则， 记事件为第次操作抽调到类部件，则， 根据全概率公式可得， 在的条件下，系统内共有个部件，其中有个类部件，则事件发生的概率， 则， 因为，所以， 则. （3）设随机变量满足若第次操作抽调到类部件，则， 若第次操作抽调到类部件，则，所以服从两点分布，且. 由题可知，第次操作后系统内类部件比上一次的增量为，则； 因为，所以. 由（2）可知，，则， 则当时，有， 则，即， 当时，，，满足上式， 故，，则. 令，则，， 则， 则， 则. 36．（2026·四川资阳·模拟预测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为． (1)求，； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传递后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且， 所以，， 由（2）得， 则. 37．（2026高二·江苏徐州·期中）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传球后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）设随机变量， 所以，，， 由（2）得， 则. $