7.1.1 条件概率 第1课时 学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1 条件概率 第 1 课时 条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2. 掌握条件概率的计算方法. 3. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 重点难点 条件概率的理解及应用 学习时间 60 分钟左右 学法指导 本节是在已有概率学习的基础上学习在一个事件发生的条件下，求另 一个事件发生的概率，即条件概率。在求条件概率的两种方法中，一个基本方法 是利用一些已知条件，通过缩小样本空间的方法计算条件概率，体现了转化与划 归的数学思想，希望同学在学习过程中认真体会。 学习任务 1.完成问题 1 至跟踪训练 1 达成目标 1 2.完成例 2 至跟踪训练 3 达成目标 2 、3 3.完成检测反馈实现学习目标 4 4. 自主选作备用练习（A 组基础、B 组提高）以巩固本节知识 [学习内容]： 一、条件概率的理解 问题 1 抛掷一枚质地均匀的硬币两次． (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？ (3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 知识梳理】 条件概率：一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A) ＝_________________ 为 在 事 件 A 发 生 的 条 件 下 ， 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率 ， 简 称 . _____________ 例 1 判断下列几种概率哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同 的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率． (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为 3 的概率． (3)在一副扑克的 52 张(去掉两张王牌后)中任取 1 张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花 5 的概率． 反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进 行的． 跟踪训练 1 下面几种概率是条件概率的是( ) A ． 甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7 ，各投篮一次都投中的概率 B ． 甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7 ，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C ．有 10 件产品，其中 3 件次品，抽 2 件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，则小明在一次上学中遇到 红灯的概率 二、利用定义求条件概率 例 2 现有 6 个节目准备参加比赛，其中4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次 抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率． 反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率 P(AB)和 P(A)． (2)将它们相除得到条件概率 这个公式适用于一般情形，其中AB 表示 A ，B 同时发生． 跟踪训练 2 (1)为落实国务院提出的“双减 ”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的 兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面上分别雕 刻了十二生肖的图案，作为 2023 年春节的吉祥物，2 个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛 出，两人都希望能抛出兔的图案朝上，寓意玉兔呈祥.2 人各抛一次，则在第一人抛出兔的图 案朝上时，两人心愿均能达成的概率为( ) (2)在 5 道试题中有 2 道代数题和 3 道几何题，每次从中抽出 1 道题，抽出的题不再放回，则 在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为________． 三、缩小样本空间求条件概率 例 3 集合 A ＝{1,2,3,4,5,6} ，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回) ，乙后取， 在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件 A ，原来的事件 B 缩小为事件 AB. (2)数：数出 A 中事件 AB 所包含的样本点． 算：利用 求得结果． 跟踪训练 3 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A ＝{两次的点数均为奇数} ，B ＝{两次的 点数之和为 8} ，则 P(B|A)等于( ) (2)5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到 新球的条件下，第二次取到新球的概率为________． I本节梳理]： 1 ．知识清单：画出本节思维导图 2 ．方法归纳：求条件概率的方法：1.定义法．2.缩小样本空间法． 3 ．常见误区：分不清“在谁的条件下 ”，求“谁的概率 ”. [学习反馈]：记下仍不会不懂的问题快去跟同学老师讨论！ [检测反馈]： 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面 ”为事件 A ，“第二次出现反面 ”为事件 B， 则 P(B|A)等于( ) 2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天的空气质 量为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 3 ．某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会 均等) ，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是( ) 4 ．一个盒子内装有大小相同的 3 个红球，5 个白球，从盒子中任取 2 个球，已知一个球是白 球，另一个球也是白球的概率为________． 备用选作：A 组基础 1 ．已知A 与 B 是两个事件 则 P等于 2．4 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由4 名同学不放回地抽取．若已知第一名同学没有抽 到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( ) D ．1 3 ．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15% ，语文不及格的占 5% ，两门都不及格的占 3%. 已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.6 4 ．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市 占 20% ，乙市占 18% ，两地同时下雨占 12% ，记 P(A) ＝0.2 ，P(B) ＝0.18 ，P(AB) ＝0. 12 ，则 P(A|B)和 P(B|A)分别等于( ) A. ， 5 ．袋子中有 5 个大小和质地完全相同的球，其中2 个红球，3 个绿球，从中不放回地依次随 机摸出2 个球，已知第一次摸到的是红球，那么第二次摸到绿球的概率为( ) 6．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知 某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到 800 次的概率为 90% ，充放电次数达到 1 000 次的概率为 36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了 800 次的充放电，则他的车 能够达到充放电 1 000 次的概率为( ) A ．0.324 B ．0.39 C ．0.4 D ．0.54 7 ．已知某地区内猫的寿命超过 10 岁的概率为 0.9 ，超过 12 岁的概率为 0.6 ，那么该地区内， 一只寿命超过 10 岁的猫的寿命超过 12 岁的概率为________． 8．2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火 星探测任务着陆火星取得成功，极大地激发了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科 技小组决定从甲、乙等 6 名同学中选出4 名同学参加 A 市举行的“我爱火星 ”知识竞赛，已 知甲被选出，则乙也被选出的概率为________． B 组提高 9 ．已知口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取 1 个． (1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； (2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球 的概率． 10．盒内装有两种(E 型和 F 型玻璃球)除颜色外完全相同的 16 个球，其中 6 个是 E 型玻璃球， 10 个是 F 型玻璃球．E 型玻璃球中有 2 个是红色的，4 个是蓝色的；F 型玻璃球中有 3 个是 红色的，7 个是蓝色的．现从中任取 1 个，已知取到的是蓝球， 问该球是 E 型玻璃球的概率 是多少？ 7.1.1 条件概率 第 1 课时参考答案 一、条件概率的理解 问题 1 抛掷一枚质地均匀的硬币两次． (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？ (3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示 (1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω = {正正，正反，反正，反反}， 其中两次都是正面向上的事件记为 B ，则 B ＝{正正} ，故 (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为 A ，则 A ＝{正正，正反，反正} ，那么，在 A 发 生的条件下，B 发生的概率为 .在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率产生了变化． (3)将第一次出现正面向上的事件记为 C，则 C ＝{正正，正反} ，那么，在 C 发生的条件下， B 发生的概率为 .在事件 C 发生的条件下，事件 B 发生的概率产生了变化． 知识梳理】 条件概率：一般地，设 A ，B 为两个随机事件，且 P(A)>0 ，我们称为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率． 注意点： A 与 B 相互独立时，可得 P(AB) ＝P(A)·P(B) ，则 P(B|A) ＝ P(B)． 例 1 判断下列几种概率哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同 的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率． (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为 3 的概率． (3)在一副扑克的 52 张(去掉两张王牌后)中任取 1 张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花 5 的概率． 解 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是． 反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进 行的． 跟踪训练 1 下面几种概率是条件概率的是( ) A ． 甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7 ，各投篮一次都投中的概率 B ． 甲、乙二人投篮命中率分别为 0.6,0.7 ，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C ．有 10 件产品，其中 3 件次品，抽 2 件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，则小明在一次上学中遇到 红灯的概率 答案 B 解析 由条件概率的定义知 B 为条件概率． 二、利用定义求条件概率 例 2 现有 6 个节目准备参加比赛，其中4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次 抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率． 解 设“第 1 次抽到舞蹈节目 ”为事件 A ，“ 第 2 次抽到舞蹈节目 ”为事件 B ，则第 1 次和 第 2 次都抽到舞蹈节目为事件 AB. (1)从 6 个节目 中不放回地依次抽取 2 个，总的样本点数 n(Ω) ＝A ＝30. 根据分步乘法计数原理，得 n(A) ＝AA ＝20， 所以 因为 所以 (3)由(1)(2)，得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 P 延伸探究 本例条件不变，试求在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到语言类节目的 概率． 解 设“ 第 1 次抽到舞蹈节目 ”为事件 A ，“ 第 2 次抽到语言类节目 ”为事件 C ，则第 1 次 抽到舞蹈节目、第 2 次抽到语言类节目为事件 AC. 跟踪训练 2 (1)为落实国务院提出的“双减 ”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的 兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面上分别雕 刻了十二生肖的图案，作为 2023 年春节的吉祥物，2 个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛 出，两人都希望能抛出兔的图案朝上，寓意玉兔呈祥.2 人各抛一次，则在第一人抛出兔的图 案朝上时，两人心愿均能达成的概率为( ) 解析 设第一人抛出兔的图案的事件为 A 事件，第二人抛出兔的图案的事件为B 事件， 则 1 所以 即在第一人抛出兔的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为 . (2)在 5 道试题中有 2 道代数题和 3 道几何题，每次从中抽出 1 道题，抽出的题不再放回，则 在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为________． 答案 解析 设事件A：第 1 次抽到代数题，事件 B：第 2 次抽到几何题， 所以 三、缩小样本空间求条件概率 例 3 集合 A ＝{1,2,3,4,5,6} ，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回) ，乙后取， 在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 解 将甲抽到数字 a ，乙抽到数字 b ，记作(a ，b) ，甲抽到奇数的样本点有(1,2) ，(1,3) ，(1,4)， (1,5) ，(1,6) ，(3, 1) ，(3,2) ，(3,4) ，(3,5) ，(3,6) ，(5, 1) ，(5,2) ，(5,3) ，(5,4) ，(5,6) ，共 15 个．在 这 15 个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(1,5) ，(1,6) ， (3,4) ，(3,5) ，(3,6) ，(5,6) ，共 9 个，所以所求概率 延伸探究 1 ．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率． 解 在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)， (5,2) ，(5,4) ，(5,6) ，共 9 个，所以所求概率 2 ．若甲先取(放回) ，乙后取，若事件 A 为“ 甲抽到的数大于 4 ”，事件 B 为“ 甲、乙抽到的 两数之和等于 7 ”，求 P(B|A)． 答案 A 解 甲抽到的数大于 4 的样本点有(5, 1) ，(5,2) ，(5,3)，(5,4) ，(5,5) ，(5,6) ，(6, 1) ，(6,2)，(6,3)， (6,4) ，(6,5) ，(6,6) ，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的样本点有(5,2) ，(6, 1) ，共 2 个，所以 跟踪训练 3 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A ＝{两次的点数均为奇数} ，B ＝{两次的 点数之和为 8} ，则 P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 其中AB 表示： 两次点数均为奇数，且两次点数之和为 8 ，共有两种 情况，即(3,5) ，(5,3) ，故 n(AB) ＝2 ，而 n(A) ＝CC ＝9 ，所以 (2)5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到 新球的条件下，第二次取到新球的概率为________． 答案 解析 设第 1 次取到新球为事件 A ，第 2 次取到新球为事件 B ，则 检测反馈： 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面 ”为事件 A ，“第二次出现反面 ”为事件 B， 则 P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 依题意 所以 2 2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天的空气质 量为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A 解析 根据条件概率公式得所求概率为 3 ．某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会 均等) ，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 男生甲被选中记作事件 A ，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件 B， 则 由条件概率公式可得 4 ．一个盒子内装有大小相同的 3 个红球，5 个白球，从盒子中任取 2 个球，已知一个球是白 球，另一个球也是白球的概率为________． 答案 2 5 解析 取出2 个球，记事件 A ＝“一个球是白球 ”， 取出 2 个球，记事件 B ＝“另一个球是白球 ”， 由条件概率公式得 28 所以已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为 . 备用选作（A 组基础） 1 ．已知A 与 B 是两个事件 则 P等于 A. B. C. D. 答案 D 解析 由条件概率的计算公式，可得 4 ( 2 ． 4 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 4 名同学不放回地 )抽取．若已知第一名同学没有抽 到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( ) A. B. D ．1 答案 B 解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为 3 张奖券，1 张能中奖，最后一名同 学抽到中奖券的概率显然是 . 3 ．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15% ，语文不及格的占 5% ，两门都不及格的占 3%. 已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.6 答案 A 解析 设事件 A 为“数学不及格 ”，事件 B 为“语文不及格 所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为 0.2. 4 ．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市 占 20% ，乙市占 18% ，两地同时下雨占 12% ，记 P(A) ＝0.2 ，P(B) ＝0.18 ，P(AB) ＝0. 12 ，则 P(A|B)和 P(B|A)分别等于( ) A. ， B. ， C. ， 答案 C 解析 5 ．袋子中有 5 个大小和质地完全相同的球，其中2 个红球，3 个绿球，从中不放回地依次随 机摸出2 个球，已知第一次摸到的是红球，那么第二次摸到绿球的概率为( ) 答案 D 解析 已知第一次摸到的是红球，则还有4 个球，其中 1 个红球，3 个绿球，那么第二次摸 到绿球的概率为 . 6．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知 某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到 800 次的概率为 90% ，充放电次数达到 1 000 次的概率为 36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了 800 次的充放电，则他的车 能够达到充放电 1 000 次的概率为( ) A ．0.324 B ．0.39 C ．0.4 D ．0.54 答案 C 解析 设事件A 表示“充放电次数达到 800 次 ”，事件 B 表示“充放电次数达到 1 000 次 ”， 则 P(A) ＝90% ＝0.9 ，P(AB) ＝36% ＝0.36 ，所以若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了 800 次 的充放电，则他的车能够达到充放电 1 000 次的概率为 7 ．已知某地区内猫的寿命超过 10 岁的概率为 0.9 ，超过 12 岁的概率为 0.6 ，那么该地区内， 一只寿命超过 10 岁的猫的寿命超过 12 岁的概率为________． 答案 解析 设事件A 为“猫的寿命超过 10 岁 ”，事件 B 为“猫的寿命超过 12 岁 ”． 依题意有 P(A) ＝0.9 ，P(B) ＝P(B∩A) ＝0.6， 则一只寿命超过 10 岁的猫的寿命超过 12 岁的概率为 8．2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火 星探测任务着陆火星取得成功，极大地激发了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科 技小组决定从甲、乙等 6 名同学中选出4 名同学参加 A 市举行的“我爱火星 ”知识竞赛，已 知甲被选出，则乙也被选出的概率为________． 答案 解析 设“ 甲同学被选出 ”记为事件 A ，“ 乙同学被选出 ”记为事件 B， 则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率 （B 组提高） 9 ．已知口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取 1 个． (1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； (2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球 的概率． 解 (1)两次都取得白球的概率 (2)记事件 A 为“第一次取出的是红球 ”， 事件 B 为“第二次取出的是红球 ”， 利用条件概率的计算公式， 可得 10．盒内装有两种(E 型和 F 型玻璃球)除颜色外完全相同的 16 个球，其中 6 个是 E 型玻璃球， 10 个是 F 型玻璃球．E 型玻璃球中有 2 个是红色的，4 个是蓝色的；F 型玻璃球中有 3 个是 红色的，7 个是蓝色的．现从中任取 1 个，已知取到的是蓝球， 问该球是 E 型玻璃球的概率 是多少？ 解 由题意得球的分布如下： E 型玻璃球 F 型玻璃球 总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6 10 16 设 A 表示“取得蓝色玻璃球 ”，B 表示“取得 E 型玻璃球 ”，则 AB 表示“取得蓝色 E 型玻 璃球 ”． 方法一 因为 所以 16 方法二 因为 n(A) ＝11 ，n(AB) ＝4， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$