6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

第2课时　二项式定理的综合应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解二项式定理及其性质，能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.能利用二项式定理解决整除（余数）问题. 题型（一）　两个二项式乘积的问题 [例1]　（1）（1+2x）3（1-x）4的展开式中，含x项的系数为 （　　） A.10 B.-10 C.2 D.-2 （2）已知（x2+a）的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为 （　　） A.8 B.6 C.4 D.2 解析：（1）（1+2x）3（1-x）4的展开式中含x项是由第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，然后相加.因此，含x项为（2x）0··（-x）1+·（2x）1··（-x）0，所以含x项的系数为××（-1）+×2×=-4+6=2. （2）令x=1，得（1+a）（1+1）6=192，所以a=2. 因为的展开式的通项 Tr+1==x-2r， 又（x2+2）=x2+2. 令-2r=-2，得r=1；令-2r=0，得r=0. 所以展开式中的常数项为x2x-2+2=8. 答案：（1）C　（2）A 　　|思|维|建|模| 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. （2）找到构成展开式中特定项的组成部分. （3）分别求解再相乘，求和可得. 　　[针对训练] 1.已知（1+ax）（1+x）5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a= （　　） A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析：选D　∵（1+ax）（1+x）5=（1+x）5+ax·（1+x）5，又（1+x）5展开式的通项Tk+1=·xk，所以（1+ax）（1+x）5的展开式中含x2的项的系数为+·a=5，所以a=-1. 2.已知多项式（x+2）（x-1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=　　　　，a1+a2+a3+a4+a5=　　　.  解析：∵（x-1）4=x4-4x3+6x2-4x+1， ∴（x+2）（x-1）4的展开式中含x2的项为x·（-4x）+2×6x2=8x2.因此a2=8. 令x=0，则a0=2.令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0.所以a1+a2+a3+a4+a5=-a0=-2. 答案：8　-2 题型（二）　三项式的展开问题 [例2]　（1）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为 （　　） A.10 B.20 C.30 D.60 （2）的展开式中整理后的常数项为　　　　　　.  解析：（1）法一　（x2+x+y）5=[（x2+x）+y]5， 含y2的项为T3=（x2+x）3·y2. 其中（x2+x）3中含x5的项为x4·x=x5. 所以x5y2的系数为=30.故选C. 法二　（x2+x+y）5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为=30.故选C. （2）法一　由=，通项为Tr+1==x5-r，据题意令5-r=0，即r=5.故常数项为T6=. 法二　原式==·[（x+）2]5=·（x+）10.求原展开式中的常数项，转化为求（x+）10的展开式中含x5的项的系数，即·（）5.所以原展开式中的常数项为=. 答案：（1）C　（2） 　　|思|维|建|模| （1）三项式的展开问题，可以利用二项式定理的推导方法来解决问题，其本质是计数原理的运用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项. （2）三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 　　[针对训练] 3.的展开式中，x5项的系数为 （　　） A.160 B.210 C.120 D.252 解析：选D　因为=，所以通项Tr+1=（x2）10-r=x20-3r.令20-3r=5，得r=5，所以T6=x5=252x5.故选D. 4.（3x3-5x2+1）5的展开式中，除含x5的项之外，剩下所有项的系数和为 （　　） A.-299 B.299 C.-301 D.301 解析：选B　令x=1得（3-5+1）5=-1，所以（3x3-5x2+1）5的展开式中所有项的系数和为-1，由（3x3-5x2+1）5为5个因式（3x3-5x2+1）相乘，要得到x5项，则五个因式中有一个因式取3x3，一个因式取-5x2，其余三个因式取1，然后相乘而得，所以（3x3-5x2+1）5的展开式中含x5的项为（3x3）1·（-5x2）1=-300x5，所以（3x3-5x2+1）5的展开式中，除含x5的项之外，剩下所有项的系数和为-1-（-300）=299. 题型（三）　二项式定理的整除、余数问题 [例3]　（1）试求2 02710除以8的余数； （2）求证：32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除. 解：（1）2 02710=（8×253+3）10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 02710除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310=95=（8+1）5， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1， 即2 02710除以8的余数也为1. （2）证明：32n+2-8n-9 =（8+1）n+1-8n-9 =8n+1+8n+…+-8n-9 =8n+1+8n+…+82+（n+1）×8+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 　　|思|维|建|模| （1）利用二项式定理可以解决求整除和余数的问题，常用的变形是拆数，通常需将数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. （2）用二项式定理展开，展开后的大部分项是除数的倍数，进而可证明或判断被除数能否被除数整除，若不能整除，则可求出余数. 　　[针对训练] 5.1.026的近似值（精确到0.01）为 （　　） A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 解析：选B　1.026=（1+0.02）6=1+×0.02+×0.022+×0.023+×0.024+×0.025+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.故选B. 6.S=++…+除以9的余数为　　　.  解析：依题意S=++…+=227-1=89-1=（9-1）9-1=×99-×98+…+×9--1=9×（×98-×97+…+）-2.因为×98-×97+…+是正整数，所以S被9除的余数为7. 答案：7 学科网（北京）股份有限公司 $