6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

6.3.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　理解二项式系数的性质并灵活运用；掌握“赋值法”并会灵活应用. 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由=得到.直线r=将函数f（r）=的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 2.增减性与最大值 （1）当k<时，随k的增加而增大； 由对称性知，当k>时，随k的增加而减小. （2）当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 （1）+++…+=2n. （2）+++…=+++…=2n-1. |微|点|助|解| （1）从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的，因此=，故二项式系数有对称性. （2）二项式系数最大与n的奇偶有关系， ①n为偶数，展开式中有n+1项，最中间一项的二项式系数最大； ②n为奇数，展开式中的n+1项是偶数，最中间两项的二项式系数最大. 基础落实训练 1.（1-2x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n= （　　） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：选B　因为（1-2x）n展开式中，二项式系数最大的项只有第6项，根据二项式系数的性质，展开式中中间项的二项式系数最大，所以n+1=11，解得n=10. 2.设（1+x）n=a0+a1x+…+anxn（n∈N*），若a1=a5，则n的值为 （　　） A.4 B.6 C.7 D.8 解析：选B　由题知，a1=，a5=，因为a1=a5，所以=，所以n=1+5=6. 3.（1-x）20的展开式中，二项式系数最大的项是第 （　　） A.9项 B.10项 C.11项 D.12项 解析：选C　由二项式定理知其展开式有21项，根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项. 4.若（x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4-a3+a2-a1+a0= （　　） A.-1 B.16 C.15 D.1 解析：选B　因为（x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=-1得a4-a3+a2-a1+a0=（-2）4=16. 题型（一）　二项式系数和 [例1]　（1）（n∈N*）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为 （　　） A.8 B.12 C.15 D.-20 （2）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中x2的系数是 （　　） A.4 B.8 C.32 D.64 解析：（1）由题可知，2n=64⇒n=6，通项为Tr+1=x6-r=（-1）r，令6-r=0⇒r=4，所以常数项为（-1）4=15. （2）由题意，展开式中二项式系数之和为16，则2n=16，即n=4，即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81，令x=1可得（a2+1）4=81，解得a2=2.此时二项式为，其展开式的通项为Tr+1=·（2x）4-r·=·24-r·x4-2r，r=0，1，2，3，4，令4-2r=2，得r=1，所以展开式中x2的系数是·23=32. 答案：（1）C　（2）C 　　|思|维|建|模| 　　（a+b）n的展开式的各二项式系数的和为2n. 　　[针对训练] 1.已知（1+2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数的和为 （　　） A.512 B.210 C.211 D.212 解析：选A　∵（1+2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1+2x）10的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210=29=512. 2.已知（x-my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=　　　　.  解析：由题意得，2n=64，解得n=6，而（x-my）6的通项为x6-k（-my）k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为（-m）3=-160，解得m=2. 答案：2 题型（二）　利用赋值法求解系数和问题 [例2]　已知（2x-1）5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值： （1）a0+a1+a2+…+a5； （2）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|； （3）a1+a3+a5. 解：（1）令x=1，得a0+a1+a2+…+a5=1. （2）令x=-1，得（-3）5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由（2x-1）5的通项=（-1）r·25-r·x5-r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. （3）由a0+a1+a2+…+a5=1，-a0+a1-a2+…+a5=（-3）5， 得2（a1+a3+a5）=1-35， 所以a1+a3+a5==-121. 　　[变式拓展] 本例条件不变，求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值. 解：因为（2x-1）5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，所以两边求导数，得10（2x-1）4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1，得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10. 　　|思|维|建|模| 二项展开式中系数和的求法 （1）①二项式系数和为+++…+=2n，其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都等于2n-1. ②求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值计算可得. （2）一般地，对于多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，各项系数和为f（1），奇次项系数和为[f（1）-f（-1）]，偶次项系数和为[f（1）+f（-1）]，a0=f（0）. 　　[针对训练] 3.设（1-2x）2 026=a0+a1x+a2x2+…+a2 026x2 026（x∈R）. （1）求a0的值； （2）求a1+a2+a3+…+a2 026的值； （3）求a1+a3+a5+…+a2 025的值. 解：（1）在（1-2x）2 026=a0+a1x+a2x2+…+a2 026x2 026中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. （2）令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 026，∴a1+a2+a3+…+a2 026=0. （3）分别令x=-1，x=1， 得 ②-①，得1-32 026=2（a1+a3+…+a2 025）. ∴a1+a3+a5+…+a2 025=. 题型（三）　二项式系数的增减性与最值 [例3]　在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项? 解：由二项式通项，得Tr+1=·（）8-r·=（-1）r··2r·. （1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5=·24·=1 120x-6. （2）设第（r+1）项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r=5或r=6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 　　[变式拓展] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解：由本例（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26·x-11=1 792x-11，系数最小的项为T6=（-1）5·25=-1 792. 　　|思|维|建|模| 二项式系数的最大项的求法 　　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a+b）n中的n进行讨论. （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 　　[针对训练] 4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大，则展开式中的常数项为 （　　） A.6 B.-6 C.- D. 解析：选C　由题意可得=，所以n=5.故的展开式的通项为Tr+1=··=··.令=0，解得r=3，故展开式中的常数项为×=-. 5.（2024·全国甲卷）的展开式中，各项系数中的最大值为　　　　.  解析：由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则解得 即≤r≤.又r∈Z，故r=8. 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $