6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

005 第2课时两个计数原理的综合应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别. 逻辑推理 2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题， 数学运算 题型探究 提技能 题型一组数与编号问题 例1.(1)某市汽车牌照号码可以上网自编，假设规定从左数第2个号码只 [方法总结1] 能从字母B,C,D中选择，其他四个号码可以从0~9这10个数字 对于组数或编号问 中选择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在题，一般按特殊位置 数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可 (一般是末位和首位) 优先的方法分类或分 选的车牌号码的所有可能情况有 ( 步完成；如果正面分 A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 类较多，可采用间接 (2)①用0,1,2,3,4五个数字可以排出 个三位数字的密码. 法从反面求解；注意 数字“0”能否排在 ②用0,1,2,3,4五个数字可以排出 个三位数 首位的问题。 ③用0,1,2,3,4五个数字可以排出 个无重复数字的三 [方法总结2] 位数 >[方法总结1] 解决抽取（分配）问题 )】跟踪训练1 的方法 (1)当涉及对象的数 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数， 目不大时，一般选用 其中奇数的个数为 ( 列举法、树状图法、 A.24 B.18 C.12 D.6 框图法或图表法； (2)当涉及对象的数 题型二抽取（分配）问题 目很大时，一般有两 例2高三年级的三个班到甲，乙丙，丁四个工厂进行社会实践，其中工厂 种方法：①直接使用 分类加法计数原理或 甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有 分步乘法计数原理： ( 一般地，若抽取是有 A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 顺序的，则按分步进 行；若是按对象特征 ●[方法总结2] 抽取的，则按分类进 行；®间接法：去掉 〉跟踪训练2 限制条件，计算所有 把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每 的抽取方法数，然后 个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有 减去所有不符合条件 的抽取方法数即可. A.18种 B.9种 C.6种 D.3种 006 题型三涂色（种植）问题 例3.(1)如图为我国数学家赵爽在为《周僻算经》作注时验证 勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小 [方法总结3] 区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜 解决涂色（种植）问题 色不相同，则不同的涂色方法种数为 的一般思路 (1)按区域的不同， A.120 B.260 以区域为主分步计 C.340 D.420 数，用分步乘法计数 原理分析； (2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块 (2)以颜色（种植作 不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有 种不同的 物)为主分类讨论， 适用于“区域、点、 种植方法 [方法总结3] 线段”等问题，用分 类加法计数原理 》跟踪训练3 分析： 如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具 (3)对于不相邻的区 域，常分为同色和不 有公共棱的面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用， 同色两类进行讨论 那么不同的染色方法有 ( A.36种 B.48种 C.72种 D.108种 随堂检测重反馈 1.用1,2,3,4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有 A.6个 B.18个 C.24个 D.12个 2.(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是 家长，则不同的排列个数有 种 3.甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为 4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中，要求相邻的矩形涂色不 A 同，则不同的涂法有 种。 C D 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2]学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 跟踪训练2：6由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个 第六章计数原理 开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以 接通电源使灯泡发光的方法种数为2×3=6. 第1课时 例3：【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法： 两个计数原理及其简单应用 从油画中选，有2种不同的选法：从水彩画中选，有7种不同 教材梳理明要点 的选法.根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14（种）不同 新知初探 的选法 知识点 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的 1.m+n 选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7=70（种）不同的 2.m1+m2+…+m 选法 知识点二 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分 1.m×n 步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同的选法； 2.m1×m2×…×m 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35（种） 预习自测 不同的选法； 1.B选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7=14（种） 种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类 不同的选法。 加法计数原理，可知不同的选法种数为3+2=5，故选B. 所以共有10+35+14=59（种）不同的选法. 2.B第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选跟踪训练3：【解析】(1)一个点的坐标由x,y两个元素确定， 法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选 若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类： 法.故共有4×3=12（种）不同的搭配法 第一类：选A中的元素为x,B中的元素为y,有3×4=12（个） 题型探究提技能 不同的点； 例1：【解析】(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席， 第二类：选A中的元素为y,B中的元素为x,有4×3=12（个） 共有三类不同的方案. 不同的点. 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法： 由分类加法计数原理得不同的点的个数为12+12=24. 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； (2)第一象限内的，点x,y必须为正数，从而只能取A,B中的正 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 数，同样可分为两类，类似于(1)，得适合题意的不同点的个 根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学 数为2×2+2×2=8. 生会主席，不同选法的种数为50+60+55=165. 随堂检测重反馈 (2)从高三(1)班男生、(2)班男生中或从高三(3)班女生中1.A依题意一共有10+8+3=21种选法. 选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 2.C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48.故 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选C. 选法； 3.D每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34= 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的81（种）.故选D. 选法； 4.16如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4=8种不同的路线： 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的 如果由甲地经丙地到丁地，则有4×2=8种不同的路线.因 选法. 此，从甲地到丁地共有8+8=16种不同的路线 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班男生、高三(2)班男 第2课时两个计数原理的综合应用 生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部 长，不同选法的种数为30+30+20=80. 题型探究提技能 跟踪训练1：28当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，例1：(1)D(2)①125②100③48 b只能取8,9两个数；当a为其他数时，b都可以取三个数，例【解析】(1)按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种 如a=1时，b可取0,1,2.综上，一共有2+2+3×8=28（种） 选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法， 情形. 因此共有5×3×4×4×4=960种情况. 例2：B由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有(2)①三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个 5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组位置都有5种排法，共有5×5×5=5=125（个）. 成抛物线的条数为5×5×4=100. ②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位 —157 的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有2.288队列的头有4种选法，队尾有3种选法，队中4个位置 4×5×5=100(个). 从前到后依次有4种选法，3种选法，2种选法，1种选法，因此 ③要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步， 不同的排列个数共有4×3×4×3×2×1=288（种）. 确定百位数，有4种排法；第二步，确定十位数，有4种排法；3.2不妨由甲先来取，共2种取法，余下来的人，都只有一种选 第三步，确定个位数，有3种排法.根据分步乘法计数原理，共择，所以不同取法共有2×1×1=2（种）. 有4×4×3=48（个）无重复数字的三位数. 4.72先涂A,有4种选择，则B有3种选择，而为了让C与A、B 跟踪训练1：B由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分 都不同色，则C有2种选择，再涂D,只要与C涂不一样的就 成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是“奇偶奇”的情况，个位有 可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3=72（种）. 3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种：如果是 “偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能 6.2 排列与组合 是0，只有一种情况，共6种，因此总共有12+6=18（个）奇数. 例2：C方法一（直接法）：按甲工厂分配的班情况进行分类，共 6.2.1排列 分为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1 种情况：第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三 6.2.2排列数 个工厂，分配方案共有3×3=9（种）：第三类，有一个班去甲 工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3= 第1课时排列与排列数 27(种).综上所述，不同的分配方案有1+9+27=37（种）. 方法二（间接法）：先计算三个班自由选择去哪个工厂的总教材梳理 明要点 数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4-3×3×3=37新知初探 (种)方案 :知识点一 跟踪训练2：A由于1号球不放人1号盒子，则1号球可放入1.一定的顺序 2,3,4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有22.(1)完全相同 (2)顺序 种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1知识点二 号球不放人1号盒子的方法有3×3×2×1=18（种）.故选A.1.不同排列n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 例3：(1)D(2)18 :2.n!=n! 【解析】(1)若区域①与③颜色相同 预习自测 区域②、①、③、④、⑤依次有5种、4 (① 1.ADA是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有 种、1种、3种、3种颜色可涂.由分步乘 ⑤ 关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无 法原理，不同的涂色方案有5×4×3× ② 4 关：C不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关：D是 3=180(种).若区域①与③颜色不同， 区域①有5种涂法，区域②有4种涂 排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两 ③ 法，区域③有3种涂法，区域④有2种 位数 涂法，区域⑤有2种涂法.由分步乘法 2.D从1,2,3,4,5这五个数字中任取两个数字可组成的两位 计数原理，不同的涂色方案有5×4×3×2×2=240（种）.综 数为12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42， 上，共有180+240=420（种）涂色方法. 52.43.53,54.共20个 (2)方法一（直接法）：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2=题型探究提技能 6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地例1：【解析】(1)不是.因为握手次数的计算与次序无关，所以 上，均有3×2=6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共 不是排列问题， 有6×3=18（种）. (2)不是，因为线段条数的计算与点的次序无关，所以不是排 方法二（间接法）：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有 列问题 4×3×2=24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1=6（种），故共有 (3)不是.因为子集的个数与选中元素的次序无关，所以不是 24-6=18(种)不同的种植方法. 排列问题。 跟踪训练3：C当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4 (4)是.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加 种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面S4D有2种染 独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此 色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方 是排列问题. 法，共有4×3×2×1×2=48（种）染色方法.当侧面S4B与侧 面SDC不同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3跟踪训练1：①3④从4个不同的数字中，每次取出两个数相 种染色方法，侧面S4D有2种染色方法，侧面SAB有1种染色 乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺 方法，侧面SBC有1种染色方法，共有4×3×2×1×1=24 序无关，所以②不是排列问题；相减，相除，一个为被开方数、 (种)染色方法.则不同的染色方法共有48+24=72（种）. 个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一旦交换顺序， 随堂检测重反馈 产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列 1.D先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2=6种问题。 选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6=12个没有重复例2：【解析】(1)因为组成的没有重复数字的四位数能被5 数字的三位偶数.故选D. 整除， —158