6.3.1 二项式定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 二项式定理 （a+b）n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn（n∈N*） 展开式 右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，展开式中共有n+1项 二项式系数 各项的系数（k=0，1，2，…，n） 通项 （a+b）n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=an-kbk |微|点|助|解| （1）二项展开式共有n+1项，各项中a，b的指数和都是n. （2）a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n. （3）a与b的位置不能交换. （4）对于任意的实数a，b，该等式都成立，若a=1，b=x，则有（1+x）n=+x+x2+…+xk+…+xn. 2.二项式系数和项的系数的区别 （1）二项展开式中的二项式系数是指，，…，这些组合数，与a，b无关. （2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数. 基础落实训练 1.若（2x-3）n+3的展开式中共有15项，则自然数n的值为 （　　） A.11 B.12 C.13 D.14 解析：选A　因为（2x-3）n+3的展开式中共n+4项，所以n+4=15，即n=11. 2.展开式中的常数项为 （　　） A.80 B.-80 C.40 D.-40 答案：C 3.（1+2x）5的展开式的第三项的系数为　　　，第三项的二项式系数为　　　.  答案：40　10 题型（一）　二项式定理的正用、逆用 [例1]　（1）求的展开式. （2）化简：（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1）. 解：（1）=（3）4+（3）3+（3）2+（3）+ =81x2+108x+54++. （2）因为[（x-1）+1]5=（x-1）5+（x-1）4+（x-1）3+（x-1）2+（x-1）+1=（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1）+1，所以（x-1）5+5（x-1）4+…+5（x-1）=x5-1. 　　|思|维|建|模|　运用二项式定理的解题策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如（a-b）n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开. （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是（a-b）n的形式. 　　[针对训练] 1.若（1+）4=a+b（a，b均为有理数），则a+b= （　　） A.33 B.29 C.23 D.19 解析：选B　∵（1+）4=×（）0+×（）1+×（）2+×（）3+×（）4=17+12=a+b，∴a=17，b=12，∴a+b=29，故选B. 2.已知0<p<1. （1）写出[p+（1-p）]n的展开式； （2）化简：p3+p2（1-p）+p（1-p）2+（1-p）3. 解：（1）由0<p<1，得0<1-p<1，所以[p+（1-p）]n=pn+pn-1（1-p）+pn-2（1-p）2+…+p（1-p）n-1+（1-p）n. （2）二项式定理逆向使用，将展开式进行合并， 原式=[p+（1-p）]3=（p+1-p）3=13=1. 题型（二）　二项式系数和项的系数 [例2]　（1）求的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； （2）求的展开式中x3的系数. 解：（1）由已知得展开式通项为Tk+1=（2）6-k·=26-k·（-1）k·，∴T6=26-5·（-1）5·=-12.∴第6项的二项式系数为=6，第6项的系数为-12. （2）设展开式中的第（k+1）项为含x3的项， 则Tk+1=x9-k·=（-1）k··， 令9-2k=3，得k=3，即展开式中第4项含x3， 其系数为（-1）3·=-84. 　　|思|维|建|模| 正确区分二项式系数与项的系数 　　二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 　　[针对训练] 3.（2024·北京高考）在（x-）4的展开式中，x3的系数为 （　　） A.6 B.-6 C.12 D.-12 解析：选A　（x-）4的展开式的通项Tr+1=x4-r（-）r=（-1）r（r=0，1，2，3，4）.由4-=3，得r=2，所以（x-）4的展开式中x3的系数为（-1）2=6. 4.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. （1）求n的值； （2）求展开式中含项的系数. 解：（1）因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，， 所以=，即=，解得n=7. （2）因为展开式的通项为Tk+1=（3）7-k·=37-k，当=-1时，k=3， 所以展开式中含项的系数为34=2 835. 题型（三）　二项展开式的特定项 [例3]　已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： （1）n的值； （2）展开式中含x3的项. 解：（1）因为T3=（）n-2=4， T2=（）n-1=-2， 依题意得4+2=162，所以n2=81. 因为n∈N*，所以n=9. （2）设第r+1项含x3，则Tr+1=（）9-r=（-2）r， 所以=3，解得r=1，所以第二项为含x3的项，T2=-2x3=-18x3. 　　[变式拓展] 1.在本例条件下，求二项展开式中的常数项. 解：因为Tr+1=（-2）r，若Tr+1为常数项，则9-3r=0，所以r=3，因此常数项为第4项，即（-2）3=-672. 2.在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项. 解：因为Tr+1=（-2）r，若Tr+1为有理项，当且仅当为整数.因为0≤r≤9，r∈N，所以r=1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们分别是T2=-18x3，T4=-672，T6=-，T8=-，T10=-. 　　|思|维|建|模| 求二项展开式中特定项的步骤 　　[针对训练] 5.若的展开式的常数项为60，则实数a的值为 （　　） A.4 B.2 C.8 D.6 解析：选A　的展开式的通项为Tr+1=x6-r=（-1）rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2，则常数项为（-1）2a=60，解得a=4. 6.在的展开式中，系数为有理数的项是 （　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析：选C　在的展开式中，根据通项Tk+1=（x2）7-k可知，k=4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数. 学科网（北京）股份有限公司 $