6.2.3-6.2.4 第1课时 组合与组合数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

6.2.3　组　合 6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过实例理解组合的概念，知道组合与排列的区别与联系. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题. 1.组合的概念 （1）组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. （2）组合相同 两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. |微|点|助|解| 排列与组合的相同点与不同点 （1）相同点：都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素. （2）不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. 2.组合数的概念、公式、性质 组合数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 组合数 公式 乘积式 == 阶乘式 = 性质 =，=+ 规定 =1 |微|点|助|解| （1）m≤n，m，n∈N*； （2）==常用于计算；=常用于证明. （3）性质1（互补性质）多用于当m≥时的化简求值；性质2（组合恒等式）的特征为下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数，多用于恒等变形，简化运算. 基础落实训练 1.[多选]下列问题属于组合问题的是 （　　） A.由1，2，3，4构成双元素集合 B.5支球队进行单循环足球比赛的分组情况 C.由1，2，3构成两位数的方法 D.由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法 解析：选AB　由集合元素的无序性可知A属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故B是组合问题；C、D中两位数顺序不同数字不同，为排列问题. 2.下列计算结果为21的是 （　　） A.+ B. C. D. 解析：选D　==21. 3.若=10，则n=　　　.  答案：5 题型（一）　组合概念的理解 [例1]　判断下列问题是组合问题还是排列问题. （1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场? （2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果? （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法? （4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法? 解：（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. （2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题. （3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （4）3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题. 　　|思|维|建|模| （1）组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可，与顺序无关. （2）判断是否与元素的顺序有关.把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题. 　　[针对训练] 1.以下四个问题，属于组合问题的是 （　　） A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 解析：选C　只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 2.写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 解：含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，不含A，B的三个元素有CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 题型（二）　组合数与组合数公式的应用 [例2]　（1）求值：+++…+； （2）解不等式：2<3. 解：（1）+++…+ =+++…+ =+++…+ =++…+= ==5 985. （2）因为2<3，所以2<3， 即<. 又因为所以x≥2. 所以<. 所以2≤x<，且x∈N*， 所以x=2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}. 　　|思|维|建|模| 关于组合数公式的选取技巧 （1）涉及具体数字的可以直接用=·==进行计算. （2）涉及字母的可以用阶乘式=计算. （3）计算时应注意利用组合数的性质=简化运算. 　　[针对训练] 3.若=，则+++…+的值为 （　　） A.45 B.55 C.120 D.165 解析：选D　因为=，则m+m+2=22，解得m=10， 故+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==165. 4.若>，则n的取值集合是 （　　） A.{6，7，8，9} B.{6，7，8} C.{n|n≥6，n∈N*} D.{7，8，9} 解析：选A　∵>， ∴ 即解得6≤n<10.∵n∈N*， ∴n=6，7，8，9. ∴n的取值集合为{6，7，8，9}. 5.证明下列各等式. （1）=； （2）+++…+=. 证明：（1）∵右边 =· =·===左边，∴原式成立. （2）∵左边=（+）+++…+ =（+）++…+ =（+）+…+=（+）+…+ =…=+==右边，∴原式成立. 题型（三）　简单的组合问题 [例3]　一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人. （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情? 解：（1）从这17名学员中选11人，没有限制条件，则有===12 376种学员上场方案. （2）在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，则有·=12 376×11=136 136种方式. 　　|思|维|建|模| 解简单的组合应用题的策略 （1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. （2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. [注意]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 　　[针对训练] 6.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 （　　） A.15 B.30 C.35 D.42 解析：选B　由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有+=30种. 7.袋中装有大小相同、标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球. （1）共有多少种不同结果? （2）取出的3个球中有2个白球，1个黑球的结果有几个? （3）取出的3个球中至少有2个白球的结果有几个? 解：（1）从4个白球，5个黑球中任取3个球有=84个不同结果. （2）设“取出的3个球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，A所包含的种数为. 所以共有=30种不同的结果. （3）设“取出的3个球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B，B所包含的结果数为+. 所以共有+=34种不同的结果. 学科网（北京）股份有限公司 $