6.2.3- 6.2.4 组合与组合数2导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.3-§6.2.4组合与组合数（2）【导学】【解析】 【知识要点】 【典型例题】 题型一：组合的概念 【例1-1】判断下列问题是不是排列问题． （1）在中国男子足球超级联赛中，采取“主客场制”（即两个球队分别作为主队和客队各赛一场）．若共有16支球队参赛，则共进行多少场比赛？ （2）在某足球赛中，采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为8组，每组4支球队进行组内循环，则共进行多少场比赛？ （3）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人就座，有多少种不同的安排方法？ （4）从集合中，任取相异的两个元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程？ 【例1-2】一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 题型二 组合数的计算、化简与证明 【例2-1】解关于正整数x的方程： (1)；(2)． 【例2-2】按要求完成下列问题： (1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论； (2)若，求的值． 【例2-3】（1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 【例2-4】已知且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 有限制条件的组合问题 【例3-1】在件产品中，有件不合格品，从中任取件，问： （1）“恰有件不合格品”的取法有多少种？ （2）“没有不合格品”的取法有多少种？ （3）“至少有件不合格品”的取法有多少种？ 【例3-2】甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（ ） A．27种 B．18种 C．36种 D．48种 【例3-3】学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（    ） A．20 B．30 C．22 D．40 【例3-4】已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（    ） A．36种 B．52种 C．88种 D．92种 题型四：排列、组合的综合应用 【例4-1】（多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法正确的算法为（ ） A.； B.； C.； D.． 【例4-2】男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）队长中至少有1人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员. 题型五 与几何图形有关的组合问题 【例5-1】以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（    ） A．70 B．64 C．58 D．24 【例5-2】有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（    ）． A．36条 B．30条 C．21条 D．18条 题型六 分组、分配问题 【例6-1】厦门市2026元宵节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（    ） A．90种 B．150种 C．240种 D．300种 【例6-2】某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【例6-3】有个人到三家公司去应聘，若每人至多被一家录用，每家公司至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 【例6-4】2025年福州马拉松于12月14日举行，组委会决定派小林、小罗等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小林和小罗不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.3-§6.2.4组合与组合数（2）【导学】【解析】 【知识要点】 【典型例题】 题型一：组合的概念 【例1-1】判断下列问题是不是排列问题． （1）在中国男子足球超级联赛中，采取“主客场制”（即两个球队分别作为主队和客队各赛一场）．若共有16支球队参赛，则共进行多少场比赛？ （2）在某足球赛中，采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为8组，每组4支球队进行组内循环，则共进行多少场比赛？ （3）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人就座，有多少种不同的安排方法？ （4）从集合中，任取相异的两个元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程？ 【解析】(1) 中国男子足球超级联赛 “主客场制” 两个球队分别作为主、客队各赛一场，顺序有区别（A 队主场vsB 队和B队主场 vsA 队是两场不同的比赛）。 属于排列问题✅ (2) 足球赛小组内循环 小组内每两支球队只赛一场，顺序无区别（A 队 vsB 队 与 B 队 vsA 队 是同一场比赛）。 属于组合问题，不是排列问题❌ (3) 3 个座位安排 3 位客人 不同客人坐在不同座位上，顺序有区别（客人甲坐 1 号、客人乙坐 2 号 与 客人乙坐 1 号、客人甲坐 2 号 是不同安排）。 属于排列问题 (4) 从集合中，任取相异的两个元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程 椭圆焦点在 x 轴上要求 a>b，此时 a,b 的顺序有约束（只有 a>b 才符合条件，不是任意排列）。 属于组合问题，不是排列问题❌ 【例1-2】一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意由组合数公式计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 题型二 组合数的计算、化简与证明 【例2-1】解关于正整数x的方程： (1)；(2)． 【解析】（1）x为正整数，由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求，故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去）， 由于，所以，故只取，舍去， 【例2-2】按要求完成下列问题： (1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论； (2)若，求的值． 【答案】(1)，证明见解析；(2)或2021. 【分析】（1）利用组合数的计算公式证明即可； （2）利用第一问的结论及组合数的性质计算即可. 【解析】（1）， 证明如下：由题，，， 则 ． （2）原式 ， 所以或2021. 【例2-3】（1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 【答案】（1）448；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果； （2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得. 【解析】（1）原式 ； （2）由化简得 展开得， 因，故可化简得：， 解得或 (舍)，故方程的正整数解为. 【例2-4】已知且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 题型三 有限制条件的组合问题 【例3-1】在件产品中，有件不合格品，从中任取件，问： （1）“恰有件不合格品”的取法有多少种？ （2）“没有不合格品”的取法有多少种？ （3）“至少有件不合格品”的取法有多少种？ 【解析】(1) 恰有 2 件不合格品的取法 需要从 3 件不合格品中选 2 件，同时从 197 件合格品中选 3 件，取法数为：计算： (2) 没有不合格品的取法 即从 197 件合格品中选 5 件，取法数为：计算： (3) 至少有 1 件不合格品的取法 可以用 “总取法数 - 没有不合格品的取法数” 来计算： 至少有 1 件不合格品的取法数:. 【例3-2】甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（ ） A．27种 B．18种 C．36种 D．48种 【答案】A 【分析】分甲选生物和甲不选生物讨论即可. 【解析】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有（种）； 当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有（种）， 则甲、乙总的选法有9+18=27（种）． 故选：A. 【例3-3】学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（    ） A．20 B．30 C．22 D．40 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得. 【解析】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为种， 有3个女生1个男生时，选法种数为种， 所以不同选法有18+4=22种. 故选：C 【例3-4】已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（    ） A．36种 B．52种 C．88种 D．92种 【答案】D 【分析】有2名演员既会京剧也会豫剧，分既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中讨论，结合组合知识可得答案. 【解析】分析可得：有2名演员既会京剧也会豫剧，称为能手 （1）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中， 此时只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择3人，共种选择； （2）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人，有种选择， 此人去进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择3人， 有种选择， 此人去进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择2人， 有种选择， 此时共有种选择； （3）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中， 2人均进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择1人，只会唱豫剧的4人选择3人， 有种选择， 2人均进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人选择3人，只会唱豫剧的4人选择1人， 有种选择， 2人有1人进行唱京剧，1人进行唱豫剧，有种选择， 再从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择2人，有种选择， 此时有种选择， 所以若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，有种选择， 综上：共有种选择. 故选：D. 题型四：排列、组合的综合应用 【例4-1】（多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法正确的算法为（ ） A.； B.； C.； D.． 【答案】ABD 【解析】对于A，正、副班长有1人参加的方法数有种，正、副班长有人参加的方法数有 种，故总的方法数有种，故A正确； 对于B，人抽取人，总的方法数为，其中没有正、副班长的方法数为，所以方法数为种，故B正确； 对于C和D，正、副班长中任抽取一个，然后在剩余人中抽取个，方法数有种，减去重复的包括正、副班长的情况种.所以方法数有种，故D正确，C不正确.综上所述，本小题正确算法有种， 故选ABD. 【例4-2】男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）队长中至少有1人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员. 【解析】（1）分两步完成： 第一步，选3名男运动员，有种选法； 第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有(种)选法. （2）方法一(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为； “只有女队长”的选法种数为； “男､女队长都入选”的选法种数为， 所以共有(种)选法. 方法二(间接法)从10人中任选5人有种选法， 其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有(种). （3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选法， 其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种. 所以既要有队长又要有女运动员的选法共有(种). 题型五 与几何图形有关的组合问题 【例5-1】以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（    ） A．70 B．64 C．58 D．24 【答案】C 【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数. 【解析】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面， 1、8个顶点任选4个，有种， 2、8个顶点任选4个，共面的有12种， ∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个. 故选：C 【例5-2】有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（    ）． A．36条 B．30条 C．21条 D．18条 【答案】C 【分析】根据题意，先计算所有的情况数，然后减掉不符合要求的情况数，即可得到结果. 【解析】在小圆上确定3个点，两两连接三个点，并延长交外圆于6个点， 下面确定这9个点确定的直线条数， 从9个元素中任取两个共有种结果， 其中有3组四个点在同一条直线上，所以要减去，这样多减了3条线， 所以共有条. 故选：C． 题型六 分组、分配问题 【例6-1】厦门市2026元宵节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（    ） A．90种 B．150种 C．240种 D．300种 【答案】B 【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 再进行排列即可 【解析】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法， 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案有种. 故选：B. 【例6-2】某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【解析】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 【例6-3】有个人到三家公司去应聘，若每人至多被一家录用，每家公司至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 【答案】C 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【解析】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 【例6-4】2025年福州马拉松于12月14日举行，组委会决定派小林、小罗等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小林和小罗不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【答案】C 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余6个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可． 【解析】若小林在甲号路口，小罗在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小罗在甲号路口，小林在乙号路口，也共有种方案． 所以一共有种不同的安排方案种数． 故选：C． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $