6.2.2 第1课时 排列数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

6.2.2　排列数 第1课时　排列数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式. 2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数. 1.排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 排列数 公式 乘积式 =n（n-1）（n-2）…（n-m+1） 阶乘式 = 备注 n，m∈N*，并且m≤n 2.全排列 （1）把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. （2）正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定：0!=1. |微|点|助|解| （1）乘积是m个连续正整数的乘积； （2）第一个数最大，是A的下标n； （3）第m个数最小，是n-m+1. 3.排列数的计算与化简技巧 （1）n!=n（n-1）!；（2）=n；（3）n·n!=（n+1）!-n!；（4）=-. 基础落实训练 1.-的值是 （　　） A.480 B.520 C.600 D.1 320 解析：选C　=12×11×10=1 320，=10×9×8=720，故-=1 320-720=600. 2.若=，则m= （　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析：选D　由=，得m（m-1）=m（m-1）·（m-2），m≥3，解得m=3. 3.对于满足n≥4的任意正整数n，4×5×…×n= （　　） A. B. C. D. 解析：选D　易得4×5×…×n=. 4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有 （　　） A.4种 B.12种 C.18种 D.24种 解析：选D　由题意可得不同的采访顺序有=24种. 题型（一）　排列数的计算 [例1]　（1）（n-1 998）（n-1 999）…（n-2 025）（n-2 026）（n∈N，n>2 026）可表示为 （　　） A. B. C. D. （2）计算：. 解析：（1）选A　（n-1 998）（n-1 999）…（n-2 025）·（n-2 026）中总共有（n-1 998）-（n-2 026）+1=29个数连乘，故（n-1 998）（n-1 999）…（n-2 025）·（n-2 026）=. （2） = = ==. 　　|思|维|建|模| （1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行. （2）=n（n-1）…（n-m+1）是m个连续自然数之积，其中n是最大的数，n-m+1是最小的数，要会根据排列数公式的特征逆用. 　　[针对训练] 1.若=12，则n= （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选C　由排列数公式可得=n（n-1）=12，解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*，故n=4. 2.计算：=　　　　　　　.  解析：===-=-. 答案：- 题型（二）　排列数公式的应用 [例2]　（1）化简+++…+（n≥2且n∈N*）； （2）解方程：=140； （3）解不等式：<6. 解：（1）∵=-，∴+++…+=+++…+=1-. （2）因为所以x≥3，x∈N*. 由=140得（2x+1）2x（2x-1）（2x-2）=140x（x-1）·（x-2）. 化简得4x2-35x+69=0，解得x1=3，x2=（舍去）. 所以原方程的解为x=3. （3）原不等式可转化为<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12. 因为即3≤x≤8，且x∈N*， 所以x=8. 　　|思|维|建|模| 　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 　　[针对训练] 3.不等式3≤2+6的解集为 （　　） A.{3，4，5} B.{3，4，5，6} C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6} 解析：选A　易知x≥3，x∈N.因为=x（x-1）·（x-2），=（x+1）x，=x（x-1），所以原不等式可化为3x（x-1）（x-2）≤2x（x+1）+6x（x-1），所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}. 4.求证：（1）-=n2； （2）-=（k≤n）. 证明：（1）左边=-=n（n+1）-n=（n2+n-n）=n2=右边， ∴结论成立，即-=n2. （2）当k≤n时，左边=- =-===右边， ∴结论成立，即-=（k≤n）. 题型（三）　排列数的简单应用 [例3]　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号? 解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种；第2类，用2面旗表示的信号有种；第3类，用3面旗表示的信号有种，由分类加法计数原理知，所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15，即一共可以表示15种不同的信号. 　　|思|维|建|模| 　　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.若情况较多，可以分类后进行计算.　　[针对训练] 5.已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有 （　　） A.种　 B.种 C.种　 D.2种 解析：选C　司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法. 6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有　　　　种.（用数字作答）  解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12（种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36（种）选法. 答案：36 学科网（北京）股份有限公司 $