6.2.1 排列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.1　排列 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标]　1.通过实例理解排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 逐点清（一）　排列的概念 [多维理解] （1）一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. （3）解决排列问题时，可用树状图法、列表法列举. |微|点|助|解| （1）排列问题中的元素特征： ①无重复性：从n个不同元素中取出m（m≤n）个不同的元素，否则不是排列问题. ②有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列. （2）判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑： ①“取”，检验取出的m个元素是否重复； ②“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. [微点练明] 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化. （　　） （2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现. （　　） （3）从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列. （　　） （4）从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题. （　　） 答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有 （　　） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：选B　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.故共有2种，故选B. 3.判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设往返的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10个人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员. 解：（1）中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. （3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题. （5）中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. 逐点清（二）　画树状图列举排列 [多维理解] 利用“树状图”法解决简单排列问题 （1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. （2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. [微点练明] 1.A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有 （　　） A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 解析：选C　所有的排法有A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种. 2.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有 （　　） A.9个 B.12个 C.15个 D.18个 解析：选B　首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为 由此可知共有12个.故选B. 3.从甲、乙等5人中选3人排成一列，则甲不在排头的排法种数有 （　　） A.12 B.24 C.36 D.48 解析：选D　记另外3人为丙、丁、戊，则甲不在排头的排法有： （1）不选甲： （2）选甲： 所以共有48种不同的排法.故选D. 逐点清（三）　排列的简单应用 [典例]　（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60. （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5=125. 　　|思|维|建|模| （1）利用完成一件事是否与“顺序”有关来判定该问题是否为排列问题. （2）利用树状图或计数原理求出排列总数. 　　[针对训练] 1.有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，则分配方案的个数为　　　　.  解析：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2=120（个）分配方案. 答案：120 2.用具体数字表示下列问题. （1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； （2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数. 解：（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900（个）. （2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6（个）. 学科网（北京）股份有限公司 $