6.2.2 第2课时 排列、排列数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

第2课时　排列、排列数的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 　　进一步学习排列数及排列数公式，掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 题型（一）　元素（位置）有限制的排列问题 [例1]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. （1）甲不在首位的排法有多少种? （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解：（1）法一　把元素作为研究对象 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160（种）排法. 法二　把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.由分步乘法计数原理知，共有=2 160（种）排法. 法三　间接法　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有-=2 160（种）. （2）把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，共有=1 800（种）排法. [变式拓展] 1.本例条件不变，甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解：把位置作为研究对象 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，共有=1 200（种）排法. 2.本例条件不变，甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种? 解：间接法　总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有-2+=1 860（种）排法. 　　|思|维|建|模| 特殊元素、特殊位置问题的解题思路 此类问题的解题原则是谁“特殊”谁优先. 直接法 元素 分析法 以元素为主，优先考虑特殊元素 位置 分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 间接法 若解题时分类太多，用直接法求解较为麻烦，往往采用间接法 　　[针对训练] 1.从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 （　　） A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 解析：选C　依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3=180种. 2.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、美术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是　　　　.（用数字作答）  解析：①若数学在第一节，则有=120种排法； ②若数学不在第一节，则数学有种排法，再排体育有种排法，最后将其余四个科目全排列有种排法，按照分步乘法计数原理可得有=288种排法.综上一共有120+288=408种排法. 答案：408 题型（二）　元素“相邻”与“不相邻”的排列问题　　 [例2]　有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看某影片，他们的座位在同一排且连在一起.（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种? （2）男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种? （3）甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种? 解：（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有×=24×24=576种排法. （2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法，因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有2×=2×120=240种排法. （3）7个人全排列，有种排法，甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法，所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有-2+=5 040-1 440+120=3 720种排法. 　　[变式拓展] 本例条件不变，男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种? 解：先排4名女生，有种排法，从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法，4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有××=24×6×20=2 880种坐法. 　　|思|维|建|模| 　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则. （1）元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列. （2）元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 　　[针对训练] 3.某博物馆新增包括A，B在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且A，B都是清朝的.现将这些文物摆成一排，要求A，B必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为 （　　） A.1 440 B.2 160 C.2 880 D.3 050 解析：选C　先排列5件清朝的，由于A，B必须相邻，用捆绑法得排列数有=48；由于唐朝的3件文物不得相邻，用插空法得排列数有=60；由分步乘法计数原理得所有不同的摆法种数为48×60=2 880. 4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方案种数为 （　　） A.18 B.24 C.36 D.42 解析：选C　剪纸和插花课相邻的安排方法有=48种，剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有=12种，故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法种数为48-12=36. 题型（三）　定序问题 [例3]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻），则有多少种不同的排列方法? 解：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法. 法一　整体法　5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40（种）. 法二　插空法　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D，E相邻，则有种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法. 所以有+=20（种）不同的排列方法. 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法. 因此满足条件的排列有20+20=40（种）. 　　|思|维|建|模| 　　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）.解决这类问题的基本方法有两个： （1）整体法：若有（m+n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m+n）个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. （2）插空法：m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中. 　　[针对训练] 5.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. （1）其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? （2）3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? 解：（1）5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有=20（种）. （2）5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定，所以出场顺序有=10（种）. 学科网（北京）股份有限公司 $