6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 　 第1课时　两个计数原理及其简单应用 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过具体实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单问题. 逐点清（一）　分类加法计数原理 [多维理解] 　　完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. |微|点|助|解| （1）分类加法计数原理中两类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. （2）推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. [微点练明] 1.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有 （　　） A.40种 B.20种 C.15种 D.11种 解析：选D　根据分类加法计数原理，不同的选法共有4+5+2=11种.故选D. 2.设集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，则方程+=1表示焦点位于y轴上的椭圆有 （　　） A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 解析：选A　因为椭圆的焦点在y轴上，所以m<n，当m=1时，n=2，3，4；当m=2时，n=3，4；当m=3时，n=4，即所求的椭圆共有3+2+1=6（个）. 3.如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对的顶点C1，则其中经过3条棱的路线共有 （　　） A.4条 B.6条 C.7条 D.8条 解析：选B　从顶点A出发有3条路线，分别经过AB，AD，AA1，经过AB有2条路线，经过AD有2条路线，经过AA1有2条路线，根据分类加法计数原理可知，从顶点A爬到相对的顶点C1经过3条棱，共有2+2+2=6条路线. 4.在所有的两位数中，求个位数字大于十位数字的两位数的个数. 解：法一　按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个. 法二　按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个. 法三　所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90-18=72个.在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2=36. 逐点清（二）　分步乘法计数原理 [多维理解] 　　完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. |微|点|助|解| （1）完成一件事的两个步骤，缺一不可，其中的一步不能独立完成这件事. （2）推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法. [微点练明] 1.现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变， 不同的方法共有 （　　） A.30种 B.56种 C.12种 D.42种 解析：选D　原来5名同学站成一排，有6个空位可以插入甲同学，所以甲同学有6种不同的排法.当甲同学插入后，此时包括原来5名同学和甲同学一共有6个人，这6个人形成了7个空位，所以乙同学有7种不同的排法.根据分步乘法计数原理，不同的方法共有6×7=42（种）. 2.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 （　　） A.43种 B.34种 C.54种 D.种 解析：选C　根据题意，除小张外，每位同学都可以报A，B，C三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，小张不能报A小组，只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2=54（种）. 3.某密码由4位数字组成，组成密码的数字中，若最大数字与最小数字之差为1，则称为“好”四位密码.例如6556中最大的数字是6，最小的数字是5，它们之差为1，就是一个“好”四位密码，但0561，4444这两个四位密码就不是，则这样的“好”四位密码的个数为 （　　） A.119 B.126 C.135 D.144 解析：选B　设最大数字为a，最小数字为a-1，a=1，2，…，9，于是由a和a-1这两种数字组成的四位密码有24-2=14个，又共有9种取a和a-1的情况，从而共有9×14=126个这样的密码. 4.全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是　　　　　.  解析：由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5×5×5×5=625种. 答案：625 逐点清（三）　两个计数原理的综合应用 [典例]　某药品研究所研制了5种消炎药（a1，a2，a3，a4，a5）、4种退烧药（b1，b2，b3，b4），现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，但已知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有多少种? 解：当取a1，a2时，再取退烧药有4种方案，此时不同的试验方案有4种；当不取a1，a2且取a3时，取另一种消炎药的方法有2种；由于a3，b4两种药不能同时使用，所以再取退烧药有3种方案，此时不同的试验方案有2×3=6种；当取a4，a5时，再取退烧药有4种方案，此时不同的试验方案有4种；综上所述，不同的试验方案共有4+6+4=14（种）. 　　|思|维|建|模| 两个计数原理的综合应用策略 （1）要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性. （2）有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”. （3）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观. 　　[针对训练] 某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息. （1）若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法? （2）若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法? 解：（1）小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.根据分类加法计数原理知，小明爸爸共有8+6=14（种）不同的坐法. （2）小明与爸爸分别就座，可以分两步完成：第一步，小明先就座，从东、西面共8+6=14（个）空闲凳子中选一个坐下，共14种坐法；第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.由分步乘法计数原理知，小明与爸爸分别就座共有14×13=182（种）不同的坐法. 学科网（北京）股份有限公司 $