6.2 排列组合的特殊问题【11大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列组合的特殊问题 题型预览 题型一 数字排列问题 题型二 涂色与种植问题 题型三 元素的“在”与“不在”问题 题型四 “相邻”与“不相邻”问题 题型五 定序问题 题型六 环形的问题 题型七 有限制条件的组合问题 题型八 多面手问题 题型九 几何中的组合问题 题型十 分组与分配问题 题型十一 元素相同的问题 知识清单 常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 数字排列问题的解题原则 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． “在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先． (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． “相邻”与“不相邻”问题 处理元素“相邻”或“不相邻”的问题应遵循“先整体，后局部”的原则．对于元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．对于元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即将“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”与“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 多面手问题 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 几何中的组合问题 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算漏算．常用直接法，也可采用间接法． (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决方法体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 分组与分配问题 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等． (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！. (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 题型突破 题型一 数字排列问题 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数共有______个 2．（25-26高二下·北京·期中）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．24 3．（25-26高二下·山东泰安·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数． (1)可以组成多少个六位数奇数； (2)可以组成多少个被5整除的五位数； (3)可以组成多少个比3201大的四位数． 4．（25-26高二下·浙江温州·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个不含0的四位数？ (2)能组成多少个被5整除的四位数？ (3)能组成多少个小于1000的数？ 5．（25-26高二下·全国·期中）用数字组成没有重复数字的正整数.（结果用数字表示） (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个能被整除的四位数？ (3)可以组成多少个偶数数字不相邻的五位数？ (4)把所有的四位奇数从小到大排列后，求第个数. 题型二 涂色与种植问题 6．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）从1，2，3，4，5中任取三个数字，从6，7，8，9中任取两个数字，可以组成__________个没有重复数字的五位数. 7．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 8．（25-26高二下·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 10．（25-26高二下·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    11．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（   ） A．B．C． D． 12．（25-26高二下·重庆綦江·月考）用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种. 题型三 元素的“在”与“不在”问题 13．（25-26高二下·江苏扬州·期中）（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（   ） A．共有120种排法 B．男生必须排在一起，共有24种排法 C．男生甲在男生乙右边（可不相邻）共有60种排法 D．男生不能排在一起，共有54种排法 14．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 15．（24-25高二下·全国·课后作业）从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 16．（25-26高二上·上海·课后作业）3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)甲不在最左边，乙不在最右边； (2)男生必须排在一起； (3)男生和女生相间排列； (4)在甲､乙两人中间必须有3人. 17．（24-25高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 题型四 “相邻”与“不相邻”问题 18．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 19．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 20．（2026·河北邯郸·二模）某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 21．（25-26高二下·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 22．（25-26高二下·北京·期中）中秋晚会计划演出6个节目，其中歌曲、舞蹈和小品各2个 (1)求分别满足下列条件的节目单排法的种数： ①两个歌唱节目分别安排在开头和结尾； ②两个歌唱节目不相邻； ③两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻． (2) 晚会定好节目单后，由于情况有变，需要增加魔术和机器人表演两个节目．但是不能改变原来节目的相对顺序，问新的节目演出顺序可能有多少种？ 23．（25-26高二下·福建厦门·月考）（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ） A．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有40种 B．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有72种 C．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种 D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种 题型五 定序问题 24．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，一共有多少种不同的排法? (2)5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法? (3)5位同学站成一排，要求丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)5位同学站成一排，甲乙顺序一定，有多少种不同的排法? (5)将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 25．（25-26高二下·陕西西安·期中）（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（   ） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 26．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 27．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 题型六 环形的问题 28．（2025高三·全国·专题练习）圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为______． 29．（2025高三·北京·专题练习）甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是_______.（用数字作答） 30．（24-25高二下·广东·月考）甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 31．（24-25高三上·湖北·月考）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 32．（2025·福建厦门·三模）6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为_____. 题型七 有限制条件的组合问题 33．（2026·全国·模拟预测）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况数为（   ） A．222 B．175 C．55 D．145 34．（24-25高二下·江苏苏州·月考）甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， (1)若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； (2)若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 35．（25-26高二上·山东·月考）（多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 36．（25-26高二下·江苏·课前预习）一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 37．（24-25高二下·广西·期末）每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求： (1)若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？ (2)若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？ (3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？ 题型八 多面手问题 38．（25-26高二下·河南洛阳·期中）某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有_____________种不同的选法．（用数字作答） 39．（25-26高二下·黑龙江鸡西·月考）有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 40．（25-26高二下·河北沧州·月考）回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 41．（24-25高三·上海·随堂练习）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 (1)该小组中男生、女生各多少人？ (2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） (3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求用数字作答） 题型九 几何中的组合问题 42．（25-26高二下·河南·期中）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．33 C．34 D．36 43．（25-26高二下·上海·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 44．（25-26高二下·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 45．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 46．（2025高三·全国·专题练习）如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有______个． 47．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（    ）． A．60对 B．62对 C．72对 D．124对 题型十 分组与分配问题 48．（25-26高二下·重庆·月考）某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 49．（25-26高二下·上海·期中）为了让青少年德智体美劳全面发展，在常规教学外，我校计划利用拓展课时间增设“经纬华夏”、“戏剧表演”、“中国史传文学选读”、“生成式人工智能创意实践”、“声乐的艺术”、“电影中的心理学”六门体验课程. (1)若体验课程连续开设六周，每周一门，每门课程排一次，第一周不排“戏剧表演”，求所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数. 50．（25-26高二下·河南洛阳·期中）某科技展览会上，展示了编号为1至9的9种型号的无人机，学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各1架供学生实验操作． (1)甲、乙两同学从9架无人机中各选一架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，两个同学共有多少种不同的选择？ (2)学校将买回的9架无人机全部都分给高一年级，高二年级，高三年级进行实验，每个年级至少一架． ①若平均分给三个年级，一共有多少种分配方法？ ②若每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，一共有多少种分配方法？ ③若三个年级分得的数量各不相同，一共有多少种分配方法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 51．（四川宜宾市普通高中2026届高三高考适应性演练数学试题）在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 52．（25-26高二下·湖北荆州·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．600 B．264 C．207 D．114 题型十一 元素相同的问题 53．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 54．（2026高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 55．（25-26高二下·天津和平·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（   ） A．22个 B．21个 C．20个 D．19个 56．（25-26高二下·全国·期中）方程的正整数解的个数为_____.在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足的概率为_____. 57．（2025高三·全国·专题练习）从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 58．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 强化训练 1．（25-26高二下·重庆·月考）4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（    ） A．4种 B．15种 C．16种 D．24种 2．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 3．（25-26高二下·陕西西安·月考）用这个数字，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南洛阳·期中）将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 5．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 6．（25-26高二下·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 7．（25-26高二下·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 8．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（    ） A．1440 B．2160 C．4320 D．5760 9．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C．有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10．（25-26高二下·江苏扬州·期中）（多选）身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（   ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B．A与C同学不相邻，共有72种站法 C．A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 11．（湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷））（多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法； C．将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法； D．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法． 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种 B．4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种 C．盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是 D．把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为 13．（25-26高二下·江苏南通·月考）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 14．（安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷）小唐和小陈去旅游，他们打算从A、B、C、D等8个景点中各自随机选择4个，若他们不同时选择景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有___________种．（用数字作答） 15．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 16．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 17．（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人顺序一定，有多少种排法？ （2）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？ （3）用0，1，2，3，4，5这六个数字： ①能组成多少个无重复数字的四位偶数？ ②能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ ③能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 18．（25-26高二下·江苏镇江·期中）有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ (3)可以组成多少个有重复数字三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 19．（25-26高二下·湖北武汉·期中）(1)某学校有5个区域要种上鲜花（如图1），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有多少种. (2)给平面图图2中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有多少种. 20．（25-26高二下·天津静海·期中）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (4)若五个小球是相同的，全部放入这三个盒子中，且每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？（注意：请写出式子再写计算结果） 21．（25-26高二下·福建福州·期中）尚德中学某班级6个学生在活动中拍照，其中男女生各3个. (1)6人要求站两排，女生站前排，有多少种排法；（列式并用数字作答） (2)6人要求站一排，男生不相邻，有多少种排法；（列式并用数字作答） (3)6人要求站一排，3名男生中有且只有甲乙两个男生相邻；（列式并用数字作答） 22．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）有8辆不同品牌的新能源汽车，其中有5辆车合格，3辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到3辆不合格车全部检测出为止. (1)求前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数； (2)求最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的不同检测情形种数； (3)若前2次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数. 23．（25-26高二下·陕西西安·月考）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果男生和女生各选2人，那么有多少种不同的选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须参加，那么有多少种不同的选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加，那么有多少种不同的选法？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 排列组合的特殊问题 题型预览 题型一 数字排列问题 题型二 涂色与种植问题 题型三 元素的“在”与“不在”问题 题型四 “相邻”与“不相邻”问题 题型五 定序问题 题型六 环形的问题 题型七 有限制条件的组合问题 题型八 多面手问题 题型九 几何中的组合问题 题型十 分组与分配问题 题型十一 元素相同的问题 知识清单 常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 数字排列问题的解题原则 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． “在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先． (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． “相邻”与“不相邻”问题 处理元素“相邻”或“不相邻”的问题应遵循“先整体，后局部”的原则．对于元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．对于元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即将“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”与“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 多面手问题 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 几何中的组合问题 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算漏算．常用直接法，也可采用间接法． (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决方法体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 分组与分配问题 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等． (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！. (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 题型突破 题型一 数字排列问题 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数共有______个 【答案】100 【分析】三位数的百位数不为0，所以，要分成两类来计算，一类是没有数字0；另一类是有数字0. 【详解】三位数的百位数不为0，所以，要分成两类来计算： 当三位数中没有数字0时，; 当三位数中有数字0时，; 所以，用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数共有. 2．（25-26高二下·北京·期中）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数的个数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．24 【答案】B 【分析】按个位是否为0分类讨论可得. 【详解】个位是0的有个，个位是2的有个，共有没有重复数字的四位偶数个. 3．（25-26高二下·山东泰安·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数． (1)可以组成多少个六位数奇数； (2)可以组成多少个被5整除的五位数； (3)可以组成多少个比3201大的四位数． 【答案】(1)种 (2)个 (3)个 【分析】（1）先排个位，再排首位，根据分步计数原理即可求解； （2）分个位为0和个位为5两类，然后根据分步计数原理和分类计数原理即可求解； （3）法一：分首位比3大和首位为3两类，然后分步计数原理和分类计数原理即可求解； 法二：根据对立事件法即可求解. 【详解】（1）第一步：先排个位，从1，3，5中选一个放个位，有3种情况； 第二步：排首位，从剩下的（去掉0和已排的个位数）4个数中选一个共有4种情况，其他位置的数字任意排，故有种. （2）个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个. （3）法一：首位比3大的有个，首位是3，百位是4或5时有个，当首位为3，百位为2，十位可以是1或4或5时，有个， 当首位为3，百位为2，十位为0时，个位可以是4或5，共2种，所以共有个. 法二：用数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位数有个，不比3201大的包含首位是1或2的有个， 首位是3，百位是0或1的有个，首位是3、百位是2且不大于3201的数有1个，所以，比3201大的四位数共有个. 4．（25-26高二下·浙江温州·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个不重复的数字. (1)能组成多少个不含0的四位数？ (2)能组成多少个被5整除的四位数？ (3)能组成多少个小于1000的数？ 【答案】(1)120 (2)108 (3)131 【分析】（1）需从这5个数字中选4个进行排列，使用排列数公式计算； （2）分两类讨论：个位为0时，从剩余5个数字选3个排列；个位为5时，千位不能为0，先确定千位可选数字，再从剩余数字选2个排列，最后用分类加法计数原理汇总； （3）分三类计算：一位数直接统计可选数字个数；两位数先确定十位（不能为0）再确定个位；三位数先确定百位（不能为0）再确定十位和个位，最后用分类加法计数原理汇总. 【详解】（1）， 所以能组成个不含0的四位数. （2）个位为的情况有：个 个位为5的情况有：个 所以能组成个被5整除的四位数 （3）一位数的情况有：个 两位数的情况有：个 三位数的情况有：个 所以能组成个小于的数. 5．（25-26高二下·全国·期中）用数字组成没有重复数字的正整数.（结果用数字表示） (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个能被整除的四位数？ (3)可以组成多少个偶数数字不相邻的五位数？ (4)把所有的四位奇数从小到大排列后，求第个数. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）用数字可以组成个没有重复数字的三位数； （2）组成能被整除的四位数的个数字可以是；； ；；；；； ；；；，共组， 每组数字可以组成个四位数，所以可以组成个能被整除的四位数. （3）在五位数中，偶数数字不相邻，偶数数字最多有个， 因为数字中，奇数数字有个，偶数数字有个， 所以偶数数字不相邻的五位数中，偶数数字可以有个，个，个， 当偶数数字有个时，偶数数字有种选择，奇数数字有种选择， 这个数字可以组成个五位数，所以可以组成个五位数； 当偶数数字有个时，偶数数字有种选择，奇数数字有种选择，对偶数数字进行插空， 这个数字可以组成个五位数，所以可以组成个五位数； 当偶数数字有个时，偶数数字有种选择，奇数数字有种选择，对偶数数字进行插空， 这个数字可以组成个五位数，所以可以组成个五位数； 由分类加法计数原理，得可以组成个偶数数字不相邻的五位数. （4）用数字可以组成个没有重复数字的四位奇数. 其中，千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个， 所以第个数的千位上数字为， 因为千位上数字为，百位上数字为的四位奇数，有个， 千位上数字为，百位上数字为的四位奇数，有个， 所以第个数是千位上数字为，百位上数字为的最大四位奇数，即. 题型二 涂色与种植问题 6．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）从1，2，3，4，5中任取三个数字，从6，7，8，9中任取两个数字，可以组成__________个没有重复数字的五位数. 【答案】7200 【分析】由分步乘法计数原理结合组合数、排列数即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5中任取三个数字，有种取法； 从6，7，8，9中任取两个数字，有种取法. 将取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，可以组成个五位数. 由分步乘法计数原理，得可以组成个没有重复数字的五位数. 7．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 8．（25-26高二下·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【分析】分别确定“英语角”、“语文学苑”、“理综世界”、“数学天地”这四个区域所用粉笔的颜色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 10．（25-26高二下·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    【答案】72 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：    ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（   ） A．B．C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知新定义判断A，C，D，再根据连续完美分割得出图形判断B. 【详解】A，C，D可“连续完美分割”如图： 对于B，对于4×4的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下5种情形或其旋转图形， 经验证，符合条件的分割方式不存在. 12．（25-26高二下·重庆綦江·月考）用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种. 【答案】 【分析】根据题意，可分四种颜色、三种颜色和两种颜色，分类讨论，结合组合数公式和计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，若用四种颜色时，有种涂法； 若用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一个时同色， 先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有， 根据分步计数原理，有种涂法； 若用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色， 先选两种颜色种选法，有种涂法， 由分类计数原理，共有种不同的涂法. 题型三 元素的“在”与“不在”问题 13．（25-26高二下·江苏扬州·期中）（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（   ） A．共有120种排法 B．男生必须排在一起，共有24种排法 C．男生甲在男生乙右边（可不相邻）共有60种排法 D．男生不能排在一起，共有54种排法 【答案】AC 【分析】据每个选项的不同排列要求，对应确定采用捆绑法、插空法等适配的排列计算模型,然后逐个计算各情况的排法数，将计算结果与选项给出的数值对比，得出正确答案. 【详解】在A选项中，是全排列问题，总排法有种，A正确； 在B选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法：把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法有种，B错误， 在C选项中属于定序问题，男生甲可在男生乙左边或右边两种情况，则总排法有种，C正确. 在D选项中，男生不相邻，用插空法：先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中， 则总排法：种，D错误， 14．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 【答案】(1)120 (2)480 (3)504 【分析】（1）甲必须在排头，其他人全排即可； （2）方法一：甲不在排头也不在排尾，甲有种排法，其他全排即可；方法二：先排排头和排尾，其他全排即可； （3）分甲在排尾和甲不在排尾进行讨论排列即可. 【详解】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法，所以共有（种）排法． （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 15．（24-25高二下·全国·课后作业）从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 【答案】(1)2160 (2)1800 (3)1200 (4)1860 【分析】（1）方法一：分含甲和不含甲，含甲优先安排利用分步乘法原理可得；方法二：先对首位安排人，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；方法三：间接法，先求出总的排列数，然后去掉甲在首位的即可求得； （2）先安排首尾两个位置，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得； （3）先安排首尾两个位置，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得； （4）间接法，总的排列数减去甲在首位排列数，再减去乙在末位的排列数，最后加上甲在首位同时乙在末位的排法数. 【详解】（1）方法一：把元素作为研究对象： 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法．根据分步乘法计数原理，有4×种排法． 由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2160（种）排法． 方法二：把位置作为研究对象， 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法；由分步乘法计数原理知，共有＝2160（种）排法. 方法三：（间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉，不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有－＝2160（种）. （2）把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法； 根据分步乘法计数原理，共有＝1800（种）方法. （3）把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有＝1200（种）方法. （4）总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1860（种）排法. 16．（25-26高二上·上海·课后作业）3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)甲不在最左边，乙不在最右边； (2)男生必须排在一起； (3)男生和女生相间排列； (4)在甲､乙两人中间必须有3人. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解； （2）利用捆绑法即可得解； （3）利用插空法即可得解； （4）利用分步乘法计数原理，结合排列的知识即可得解. 【详解】（1）依题意，先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种， 但应剔除其中乙在最右边的排法数种， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法， 再与其他元素进行全排列，有种排法， 故共有种. （3）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有种. （4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种， 将甲、乙看作一个整体，和其余2人排成一排的排法有种， 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可， 共有种. 17．（24-25高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 【答案】(1)243 (2)78 (3)150 【分析】（1）根据乘法计数原理即可求解， （2）用全部情况去掉甲不在首位，乙不在末位，即可求解， （3）利用分组分配，结合排列组合即可求解. 【详解】（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. （2）排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）. （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 题型四 “相邻”与“不相邻”问题 18．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】应用捆绑法计算求解. 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 19．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 20．（2026·河北邯郸·二模）某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 【答案】240 【详解】先将除外的四本书排序，因为要求A在B之前读完，所以共有种不同的排法； 再将排到四本书共产生的5个空位中，共有种不同的排法. 因此，由分步乘法计数原理得，不同的读书顺序有种. 21．（25-26高二下·天津静海·期中）云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 【答案】72 【详解】根据题意，分两步进行分析： 指导老师和学员站在两端，有种情况， 中间5人分两种情况讨论： 若、相邻且、相邻，、不相邻，有种安排方法； 若、相邻且、都不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有种安排方法， 综上所述，共有种排法. 22．（25-26高二下·北京·期中）中秋晚会计划演出6个节目，其中歌曲、舞蹈和小品各2个 (1)求分别满足下列条件的节目单排法的种数： ①两个歌唱节目分别安排在开头和结尾； ②两个歌唱节目不相邻； ③两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻． (2)晚会定好节目单后，由于情况有变，需要增加魔术和机器人表演两个节目．但是不能改变原来节目的相对顺序，问新的节目演出顺序可能有多少种？ 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】（1）①利用排列的定义进行求解即可； ②利用插空法进行求解即可； ③运用捆绑法和插空法进行求解即可； （2）运用插空法进行求解即可. 【详解】（1）①因为两个歌唱节目分别安排在开头和结尾， 所以节目单排法的种数为； ②因为两个歌唱节目不相邻， 所以其它节目排完，两个歌唱节目进行插空， 所以节目单排法的种数为； ③因为两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻， 所以两个歌唱节目先捆绑，然后与个小品排列，最后两个舞蹈节目进行插空， 所以节目单排法的种数为； （2）6个节目形成空， 因为不能改变原来节目的相对顺序， 所以新增加的两个节目可以插入一个空或者两个空， 所以节目单排法的种数为. 23．（25-26高二下·福建厦门·月考）（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ） A．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有40种 B．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有72种 C．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种 D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种 【答案】ACD 【分析】对于A：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D：先将学生安排出去，再排除有社区没有人去的可能. 【详解】对于选项A：可知有三种可能： 甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有种； 甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有种； 甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故A正确； 对于选项B：符合要求的排法有四种可能： 甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种； 甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种； 甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种； 甲不在最右端也不在最左端，乙不在最左端也不在最右端，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故B错误； 对于选项C：若甲、乙相邻，则不同的排法有种； 若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故C正确； 对于选项D：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有种； 若有社区没有人去，则有两种可能： 所有人去了一个社区，则不同的排法有种； 所有人去了两个社区，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故D正确； 题型五 定序问题 24．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，一共有多少种不同的排法? (2)5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法? (3)5位同学站成一排，要求丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)5位同学站成一排，甲乙顺序一定，有多少种不同的排法? (5)将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1)120 (2)48 (3)72 (4)60 (5)150 【分析】（1）5位同学站成一排，全排列即可； （2）相邻问题用捆绑法； （3）不能相邻问题用插空法； （4）顺序一定的排列问题用倍缩法求解； （5）第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【详解】（1）5位同学站成一排，5人全排列，所以有种不同的排法. （2）因为甲、戊相邻，故先把甲、戊捆绑，然后与其余人全排列， 所以有种不同的排法. （3）首先将甲、乙、戊三人一起排，有种排法， 此时，共有4个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． （4）5人全排列中，甲乙的顺序有种，因为甲乙顺序一定， 所以有种不同的排法. （5）①将5位同学分成3组， 若分成1、1、3的三组，有种分法， 若分成1、2、2的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； ②将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 25．（25-26高二下·陕西西安·期中）（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（   ） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 【答案】BC 【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优先法、定序法、分组分配法逐项判断即可. 【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种， 丙、丁不能相邻的安排有种（插入甲乙捆绑体与戊形成的3个空位中）， 共有种，故A不正确； 对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则当甲在左端时，则有种安排方法； 当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法， 故符合的总的安排方法种数为种，故B正确； 对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队， 则不同的排法有种，故C正确； 对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学， 先将4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为， 所以不同的分配方案有种，故D不正确. 26．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 27．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【分析】利用捆绑判断A，利用插空法判断B，利用定序倍缩法判断C，利用特殊位置法判断D，从而得解. 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，再与其余十道菜品排列在一起， 共有种摆法，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，再将4道素菜插空， 共有种摆法，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定， 所以有（种）不同摆法，故C正确； 对于D，将12道菜看成10个空，去掉首尾后还有10个空， 在其中任选两个空将两个汤品放进去， 再将十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种摆法，故D正确. 故选：BCD. 题型六 环形的问题 28．（2025高三·全国·专题练习）圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为______． 【答案】120 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】A，B，C三位同学围成一个圆，ABC、BCA或CAB是同一排列， 其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个． 三位同学围成一个圆的排列总数为， 由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为， 故答案为：120. 29．（2025高三·北京·专题练习）甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是_______.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，用排列数表示出以甲为中心，其他三人位置的总的可能数，再表示出甲与乙能牵手的可能数，即可求得概率. 【详解】以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况， 其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手的有种情况， 所以所求概率为. 故答案为：. 30．（24-25高二下·广东·月考）甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 【答案】A 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 31．（24-25高三上·湖北·月考）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解. 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 32．（2025·福建厦门·三模）6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为_____. 【答案】 【分析】根据平均分组列式结合组合数及排列数计算再结合古典概型计算求解. 【详解】左、右两边的各6个绳头各自随机均分成3组， 共有种， 先选定左边第一条绳子的绳头，然后从左边剩下的5个绳头里任取一个打结， 然后按照从右边4个绳头里任取一个，从左边3个绳头里任取一个，从右边2个绳头里任取一个的顺序打结，一共有种， 所以6根绳子恰能围成一个大圈的概率为. 故答案为： 题型七 有限制条件的组合问题 33．（2026·全国·模拟预测）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况数为（   ） A．222 B．175 C．55 D．145 【答案】D 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 34．（24-25高二下·江苏苏州·月考）甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， (1)若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； (2)若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师，据此求解即可； （2）分两步进行求解，第一步从5名学生中任选一名分给老师甲，第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师. 【详解】（1）由题意可得从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师， 所以一共有种分配方案. （2）第一步，从5名学生中任选一名分给老师甲，有种分配方案； 第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师； 这两组人数为1和3时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 这两组人数为2和2时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 所以第二步一共有种分配方案， 所以一共有种分配方案. 35．（25-26高二上·山东·月考）（多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【分析】考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各选项中的分法，即可求得答案. 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 36．（25-26高二下·江苏·课前预习）一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【答案】(1)10 (2)6 (3)4 【分析】（1）由组合数公式即可求解； （2）由组合数公式即可求解； （3）由组合数公式即可求解； 【详解】（1）从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是. 37．（24-25高二下·广西·期末）每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求： (1)若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？ (2)若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？ (3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？ 【答案】(1)112 (2)714 (3)160 【分析】（1）先选1名教师，再从高一高二选5人，算出组合数即可. （2）选调的志愿者中必有教师,有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，算出组合数即可. （3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况，教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，算出组合数即可. 【详解】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，共有种选法. （2）选调的志愿者中必有教师,有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生， 共有种选法. （3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况： 教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生， 共有种选法. 题型八 多面手问题 38．（25-26高二下·河南洛阳·期中）某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有_____________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】37 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按承担印刷任务的人员中“只会印刷”者的人数进行分类求解. 【详解】以承担印刷任务的人员中“只会印刷”者的人数进行分类： 第一类：3名印刷工均是“只会印刷”者，有种； 第二类：有2名印刷工是“只会印刷”者，有种； 第三类：有1名印刷工是“只会印刷”者，有种. 所以共有（种）. 39．（25-26高二下·黑龙江鸡西·月考）有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 【答案】D 【分析】以划右舷的人进行分类：（1）只会划右舷的3人去划右舷；（2）从只会划右舷的人中选2人去划右舷；（3）从只会划右舷的人中选1人划右舷.确定划右舷的人之后，再选划左舷的人，根据分类加法和分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】（1）若只会划右舷的3人去划右舷，则划左舷的人有种，共有种； （2）若从只会划右舷的人中选2人去划右舷，则需从3名既会划左舷又会划右舷的运动员中选1人划右舷， 再从余下能划左舷的4名运动员中选3人划左舷，有种； （3）若从只会划右舷的人中选1人划右舷，则需从左、右都会划的人中选2人划右舷， 则另3人去划左舷，有种. 因此，共有种选法. 40．（25-26高二下·河北沧州·月考）回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类， 分配方式为时，共有种分法， 分配方式为时，共有种分法， 由分类加法计数原理可得共有种分法. （2）个相同的口罩，每位同学先拿一个， 剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份， 每一种分法所得份给到个人即可， 所以不同的发放方法有种. （3）若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 由分类加法计数原理可得共有种选法. 41．（24-25高三·上海·随堂练习）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 (1)该小组中男生、女生各多少人？ (2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） (3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求用数字作答） 【答案】(1)男生4人，女生6人； (2)25200； (3)309． 【分析】（1）设男生有x人，则女生有人，，，根据概率公式列式，解得答案； （2）利用插空法解决不相邻问题计算得出结果； （3）根据先分类再分步计算得出结果； 【详解】（1）设男生有x人，则女生有人，，， 则，解得，（舍去），故男生4人，女生6人； （2）因为要求男生不相邻，故用插空法，先将女生排好，再排男生， 故有种站队方法； （3）根据题意可知，有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴， 故还有3名同学既会萨克斯又会小提琴，设， ，，故根据A进行分类： 第一类，A中选3人吹萨克斯，中选3人拉小提琴，则种； 第二类，A中选2人，C中选1人吹萨克斯，剩余6人中选3人拉小提琴，则种； 第三类，A中选1人，C中选2人吹萨克斯，剩余5人中选3人拉小提琴，则种； 第四类，A中选 0人，C中选3人吹萨克斯，剩余4人中选3人拉小提琴，则种； 故一共有种不同的选法． 题型九 几何中的组合问题 42．（25-26高二下·河南·期中）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．33 C．34 D．36 【答案】B 【详解】从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为，在三棱台中，共有3对棱平行，所以所求的选法种数为. 43．（25-26高二下·上海·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【答案】80 【详解】从9个点中任选3个点的组合数为. 共线4点中选3个无法构成三角形，需减去. 可确定三角形个数：. 44．（25-26高二下·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【分析】（1）直接法按共线点的选取情况分类，结合分类加法计数原理计算；间接法先求9个点无限制确定直线的总组合数，再减去4个共线点多算的直线数，两种方法均可得到结果； （2）直接法按从4个共线点中选取2个、1个、0个点的情况分类，分别结合另5个点的选取计算有效三角形数；间接法先求9个点中任取3点的总组合数，再减去4个共线点中取3点的组合数。 （3）直接法按从4个共线点中选取0个、1个、2个点的情况分类，结合另5个点的选取计算有效四边形数；间接法先求9个点中任取4点的总组合数，再减去4个共线点中取3个、4个点的组合数。 【详解】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． 45．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 【答案】A 【分析】首先共可得条不同的直线，共有对直线，排除掉共面的即可得解. 【详解】从上，，，取一个点和上，，取一个点， 确定的直线数有条，再加上直线，，则共可得条不同的直线， 则共有对直线， 其中直线与新的条直线都共面，直线与新的条直线也都共面，共24对， 新的条直线中，若直线过点，则形成直线，共有对共面， 直线上有4个点，故共有对共面， 新的条直线中，若直线过点，则形成4条直线， 其中两两共面，有对， 直线上有3个点，故共有对共面， 故异面直线有对. 故选：A 46．（2025高三·全国·专题练习）如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有______个． 【答案】33 【分析】先将四点组分成两类，一类在四面体的侧面上，一类在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，分别计数，再由分类加法计数原理即得. 【详解】因在同一平面内的四点组都含有点，故可以分成两类情况： ①四点组在四面体的侧面上，如在平面中，除去点，还剩5个点，选其中3点，有个， 同理在平面和平面中也各有10个，共有30个； ②四点组在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，如平面中，除去点还剩3个点，故有1个， 同理在平面和平面上，也各有1个，共有3个. 综上，在同一平面内的四点组共有33个. 故答案为：33. 47．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（    ）． A．60对 B．62对 C．72对 D．124对 【答案】A 【分析】由分步乘法原理、组合数即可求解. 【详解】任意一个四边形恰有1对“和睦线”，故有（对）． 故选：A. 题型十 分组与分配问题 48．（25-26高二下·重庆·月考）某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 【答案】A 【详解】将名大学生分为三组：第一组个人，第二组2个人，第三组个人，共有 种分组方法； 由于甲不去看足球比赛，故甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，有 种分配方法； 所以甲同学不去观看足球比赛的方案种数为共有 种方法. 49．（25-26高二下·上海·期中）为了让青少年德智体美劳全面发展，在常规教学外，我校计划利用拓展课时间增设“经纬华夏”、“戏剧表演”、“中国史传文学选读”、“生成式人工智能创意实践”、“声乐的艺术”、“电影中的心理学”六门体验课程. (1)若体验课程连续开设六周，每周一门，每门课程排一次，第一周不排“戏剧表演”，求所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1) (2)360 (3)540 【分析】（1）先安排第一周，剩下5周全排列即可； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【详解】（1）第一步，先从另外五门课程中选一门排在第一周，有种情况； 第二步，剩下五门全排列，有种情况； 所以共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 50．（25-26高二下·河南洛阳·期中）某科技展览会上，展示了编号为1至9的9种型号的无人机，学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各1架供学生实验操作． (1)甲、乙两同学从9架无人机中各选一架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，两个同学共有多少种不同的选择？ (2)学校将买回的9架无人机全部都分给高一年级，高二年级，高三年级进行实验，每个年级至少一架． ①若平均分给三个年级，一共有多少种分配方法？ ②若每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，一共有多少种分配方法？ ③若三个年级分得的数量各不相同，一共有多少种分配方法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】(1)32 (2)①1680；②2268；③12096 【分析】（1）编号数字之和为偶数，等价于两架无人机编号同奇或同偶．编号1至9中奇数编号有5个，偶数编号有4个．由于甲、乙两名同学有身份区分，且9架无人机各不相同，所以按有序选择计数． （2）9架无人机彼此不同，三个年级也彼此不同，属于把9个不同元素分配到3个不同对象的问题．①平均分配即各年级各得3架，按顺序选择即可；②每个年级至少2架，且恰有两个年级数量相同，只能是数量分配为2，2，5；③三个年级数量各不相同，且每个年级至少1架，只需列出正整数拆分1，2，6，1，3，5，2，3，4，再分别分配无人机并安排给三个年级． 【详解】（1）编号1至9中，奇数编号有1，3，5，7，9，共5个；偶数编号有2，4，6，8，共4个． 因为两架无人机编号的数字之和为偶数，所以两架无人机编号同为奇数或同为偶数．又甲、乙两名同学有身份区分，甲选某架、乙选某架与甲乙互换选择是不同的选择，因此用排列数计数． 若两架无人机编号同为奇数，则不同选择有种；若两架无人机编号同为偶数，则不同选择有种． 根据分类加法计数原理，共有种不同的选择． （2）①若平均分给三个年级，则每个年级各得3架． 先从9架中选3架给高一年级，有种方法；再从剩下6架中选3架给高二年级，有种方法；最后剩下3架给高三年级，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有种分配方法． ②因为每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，而总数为9，所以三个年级分得的数量只能为2，2，5． 先确定哪个年级分得5架，有种方法；再从9架中选5架给这个年级，有种方法；剩下4架中选2架给另外一个确定的年级，有种方法；最后2架给剩下的年级，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有种分配方法． ③因为三个年级分得的数量各不相同，且每个年级至少1架，三个正整数和为9，所以不计顺序时，数量只能为1，2，6，或1，3，5，或2，3，4． 若三个年级分得的数量为1，2，6，则先把1，2，6这三个数量安排给高一、高二、高三三个年级，有种方法；再从9架中选1架给分得1架的年级，有种方法；从剩下8架中选2架给分得2架的年级，有种方法；最后剩下6架给分得6架的年级，有种方法．所以此时有种分配方法． 若三个年级分得的数量为1，3，5，同理，此时有种分配方法． 若三个年级分得的数量为2，3，4，同理，此时有种分配方法． 根据分类加法计数原理，三个年级分得的数量各不相同时，共有种分配方法． 51．（四川宜宾市普通高中2026届高三高考适应性演练数学试题）在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】根据分组分配问题，先求出无限制条件的方法数，再求出安排甲、乙在同一个岗位的方法数，进而求解. 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法. 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法. 故选：C 52．（25-26高二下·湖北荆州·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．600 B．264 C．207 D．114 【答案】D 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 题型十一 元素相同的问题 53．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 54．（2026高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）36 【分析】（1）利用隔板法求解即可. （2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可. （3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可. 【详解】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆， 在7个小球产生的6个空档中选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，仅空1个盒子共有种， 仅空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. 55．（25-26高二下·天津和平·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（   ） A．22个 B．21个 C．20个 D．19个 【答案】B 【分析】法一：问题化为用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份，其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球，应用分类计数原理求吉祥数的个数；法二：化为求方程非负整数解的个数. 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先第1个隔板从左到右依次插入这一排球所形成的7个空的后6个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空， 共有个吉祥数. 法二：等价于从左到右三份分别对应且，， 若，则，即求出方程非负整数解的个数， 由隔板法有个吉祥数. 56．（25-26高二下·全国·期中）方程的正整数解的个数为_____.在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足的概率为_____. 【答案】 【分析】根据题意利用隔板法求所有个数；分、、和四种情况讨论，求满足的个数，结合古典概型运算求解. 【详解】方程的正整数解的个数即为把30个相同的小球放入3个不同的盒中，且每个盒子不空， 利用隔板法可知不同的个数为； 因为，则有： 若，则个数为1； 若，则，其个数为； 若，则，其个数为； 若，设其个数为， 则，解得； 综上所述：满足的个数为， 所以所求概率为. 57．（2025高三·全国·专题练习）从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 【答案】6 【分析】应用隔板法，将5个小球排成一排，用2块挡板插入四个空中的2个，即可得. 【详解】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 58．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 【答案】28 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 强化训练 1．（25-26高二下·重庆·月考）4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（    ） A．4种 B．15种 C．16种 D．24种 【答案】B 【详解】4人同时被邀请参加一项活动，参加活动共有种方法， 若没人去，则只有种，故至少有1人去参加活动的方法种数为. 2．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 3．（25-26高二下·陕西西安·月考）用这个数字，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分两类：个位为和个位不为， 当个位为时，从剩余的个数字中取出个放在十位和百位，有种取法， 当个位不为时，第一步，确定个位上的数字，可以从中取出个，有种取法， 第二步，确定百位上的数字，从除外剩余的个数字中取出个，有种取法， 第三步，从包含在内的个数字中取出个，有种取法， 根据分步乘法计数原理，个位不为的三位偶数有个， 故所求没有重复数字的三位偶数的个数为. 4．（25-26高二下·河南洛阳·期中）将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】在除了《水浒传》剩下的三本中，甲再拿 1 本和甲不再拿两种情况讨论求解即可. 【详解】在除了《水浒传》剩下的三本中，甲再拿 1 本，乙丙各 1 本，则有种情况； 在除了《水浒传》剩下的三本中，甲不再拿，乙丙中 1 人拿 2 本，1 人拿 1 本，有种情况， 所以，不同的分配方法有种. 5．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 【答案】C 【分析】按照“赛道引导”工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排“赛道引导”工作的人数分为两类， 第一类，“赛道引导”工作仅安排1人，因为甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加“赛道引导”项工作有种方法， 再安排“物资补给、医疗保障、终点服务”项工作，若“终点服务”工作安排两人，则有种方法， 若“终点服务”工作安排一人，则有种方法， 所以“赛道引导”工作仅安排1人共种方法， 第二类，“赛道引导”工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 6．（25-26高二下·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 【答案】B 【分析】分成两类计数：一类是所在面上另外5个点中任选3个，另一类是所在棱上三点与对棱中点共面，由此可得. 【详解】含有的侧面中，每个面上的6个点都是共面的，除外的5个点任选3个，则个数为， 所在的棱上三点与对棱中点共面，这样的组数有3个， 所以共有个. 7．（25-26高二下·河南洛阳·期中）已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（） A．2640 B．2160 C．3600 D．2880 【答案】A 【分析】先考虑和不相邻的排法，再考虑和不相邻，且A站两端的情况，相减后得到答案. 【详解】先考虑和不相邻的排法： 先排A,B,C,D,E，有种排法， A,B,C,D,E排好后有6个空隙（含两端），从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法有：种； 再考虑A站两端且F、G不相邻”的排法： 先排A在两端，有种（如A在最左端），再排B,C,D,E共4人，排法数：种， 此时5人（A,B,C,D,E）排好后有5个空隙（A的左边不算空隙）， 从中选2个插入F和G，排法数：种， 所以，总排法：种， 所以要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为种. 8．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（    ） A．1440 B．2160 C．4320 D．5760 【答案】C 【详解】将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况. 则不同的排法总数共有种. 9．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C．有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ABD 【分析】利用分步乘法原理判断A，利用排除法求解判断B，确定参观券无区别，用组合法求方法数判断C，用插空法求解判断D． 【详解】对A，每封信投入邮筒的方法都有3种，因此由分步乘法原理知方法数为，A正确； 对B，可以任选4人，去除全是男的或全是女的选法，方法数为，B正确； 对C，参赛券没有区别，方法数应为，C错； 对D，先排丙、丁二人，然后甲乙二人插入，方法数为，D正确． 10．（25-26高二下·江苏扬州·期中）（多选）身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（   ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B．A与C同学不相邻，共有72种站法 C．A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 【答案】ABC 【分析】A利用定序法解；B利用插空法求解；C分A在排尾、A不在排尾两种情况求解；D利用捆绑法求解. 【详解】A选项，所有同学排列有种，其中A、C、D三位同学的相对顺序固定， 故站法共有种，故A正确； B选项，B、D、E同学有种站法，再将A与C同学排在个空位置中， 故站法共有种，故B正确； C选项，若A在排尾，则共有种站法； 若A不在排尾，则A有种站法，B有种站法，共有种站法， 故共有种站法，故C正确； D选项，由题意知，A、C、D三位同学有种站法，再将其当作整体与其余两位同学排列， 共有种站法，故D错误. 11．（湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷））（多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法； C．将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法； D．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法． 【答案】AD 【分析】本题分“元素是否相同”和“盒子是否允许空盒”两类讨论,对于不同元素放入不同盒子，常用分步计数或容斥原理；对于相同元素放入不同盒子，则转化为正整数方程的解的个数问题. 【详解】对于A：将个不同小球放入个不同盒子，且没有空盒子，相当于求从个元素到个元素的满射个数. 先不受限制地放，共有种放法，减去恰有一个盒子空着的情况，再加上两个盒子都空着的情况， 所以总数为故A正确. 对于B：将个不同小球放入个不同盒子，盒子可空， 则每个小球都有 种选择，所以共有种放法，并不是种，故B错误. 对于C：将个不同小球放入个不同盒子中，恰有一个空盒子, 先选出空盒子，有种选法,然后把个不同小球放入剩下个不同盒子中，且都不能空， 不受限制时共有种放法，去掉全部放入其中一个盒子的两种情况， 得种.所以总数为并不是种，故C错误. 对于D：将个相同小球放入个不同盒子中，没有空盒子， 由隔板法可得解数为，故D正确. 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种 B．4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种 C．盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是 D．把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为 【答案】ACD 【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB，由全概率公式即可求解C，列出分布列或者利用分布列的性质即可求解D. 【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一个小球，故共有3种方法，A选项正确； 对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有种方法，故B选项不正确； C选项，法一：相当于把5个球排序，共有种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有一个红球一个黄球，第三次是黄球共有4种情况，故总共有7种，所以概率为. 法二：记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件，互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则. 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则. 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则.所以. D选项，法一：的可能取值为1，2，3，4个球随机放入3个盒子共有81种方法， ，，， 法二：定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球， 其中，则， 又，，故， 所以 13．（25-26高二下·江苏南通·月考）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 【答案】 66 96 【分析】第一空：先分析由经到的走法，再由间接法即可求出不经过的走法；第二空：先分析经过的走法，再由间接法求解. 【详解】第一空：若先经过再到，需向下走3步，向左走2步，有种走法， 由到需向下运动2步，向左运动2步，有种走法， 故先经过再到共有， 所以不经过共有种走法. 第二空：经过，需要3步由到，再需要5步由到， 由到共有种走法，由到共有种走法， 所以经过的走法共有种， 故不经过的走法共有种. 14．（安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷）小唐和小陈去旅游，他们打算从A、B、C、D等8个景点中各自随机选择4个，若他们不同时选择景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有___________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据已知条件，分情况讨论计算选取方法，从而确定总的选择方法． 【详解】若仅小唐选了景点，有种； 若仅小陈选了景点，也有种； 若小唐和小陈都没有选景点，则有种． 综上，共有种． 15．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 【答案】1064 【分析】因为要组成奇数，所以个位必须是奇数，先确定个位数字的选取来源和选法，分两类情况讨论：第一类是从0，1，2，3，4中选1个奇数作为个位，此时要注意0不能在首位，再从剩下的数字中选1个，同时从5，6，7，8，9中选2个数字；第二类是从5，6，7，8，9中选1个作为个位，再从剩下的数字中选1个，同时从0，1，2，3，4中选2个数字；对于每一类，先选数字，再用排列组合的方法计算能组成的无重复数字的奇数个数，最后将两类结果相加. 【详解】情况1：个位是来自第一组（0，1，2，3，4）的奇数（即个位为1或3，共2种选择） 再分两小类： 子情况1a：第一组另一个取到0： 第一组取法：（个位）（取0）种；第二组取2个：种； 排前三位：0不能放首位，首位有2种选择，剩余两位全排列，共种排法； 总数：. 子情况1b：第一组另一个不取0： 第一组取法：（个位）种；第二组取2个：种； 前三位无特殊限制，全排列共种排法； 总数：，情况1总个数： 情况2：个位是来自第二组（5，6，7，8，9）的奇数（即个位为5，7，9，共3种选择） 再分两小类： 子情况2a：第一组取出的两个数含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：（取0后再取1个非0）种； 排前三位：0不能放首位，共种排法； 总数：. 子情况2b：第一组取出的两个数不含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：种； 前三位全排列共种排法； 总数：，情况2总个数：. 将两类相加：. 16．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解． 【详解】解： ①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种； 若①②同色，③④同色，则有种； 若①④同色，②③同色，则有种； 此时共有种； 综上，共有种． 17．（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人顺序一定，有多少种排法？ （2）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？ （3）用0，1，2，3，4，5这六个数字： ①能组成多少个无重复数字的四位偶数？ ②能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ ③能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】（1）840；（2）80；（3）①156，②216，③270 【详解】（1）7个人排成一排拍照片，甲、乙、丙3人顺序一定，共有种排法. （2）选2名男教师与2名女教师，共有（种）， 选3名男教师与1名女教师，共有（种）， 所以共有（种）. （3）①四位偶数的个位必须是偶数0，2，4，且首位不能为 0，分三类： 第一类：个位为 0时个； 第二类：个位为 2时，首位从 1，3，4，5 中选 1 个有种，百位和十位从剩下的 4 个数字中选 2 个有个，于是有个； 第三类：个位为 4时，与第二类同理，也有个， 则共有：个 ②为5的倍数的五位数可分为两类： 第一类：个位为 0的五位数有个； 第二类：个位为 5的五位数有个； 故满足条件的五位数共有个. ③比1325大的四位数可分为三类： 按千位数字分类讨论： 第一类：千位为 2，3，4，5时，共有个； 第二类：形如，，共有个； 第三类：形如，，共有个； 故满足条件的比1325大的四位数共有个. 18．（25-26高二下·江苏镇江·期中）有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ (3)可以组成多少个有重复数字三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）百位不能为0，有种选择（）； 十位从剩余个数字选，有种选择； 个位从剩余个数字选，有种选择； 总数：. （2）偶数个位为0,2,4，分两类： ①个位为：百位种，十位种，共； ②个位为2或4：个位种，百位种，十位种，共； 总数：. （3）总三位数（可重复）：百位种，十位种，个位种，共； 无重复三位数为； 有重复数：. （4）千位为：百位需，有种（），剩余两位，共； 千位为：千位种，剩余三位，共； 总数：. 19．（25-26高二下·湖北武汉·期中）(1)某学校有5个区域要种上鲜花（如图1），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有多少种. (2)给平面图图2中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有多少种. 【答案】(1)72 (2)264 【分析】（1）由分步计数原理结合分类讨论即可. （2）按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂A，D，E三点涂法数，再讨论点B，F，C的涂法数即可. 【详解】（1）如图1，依顺序，区域可种种颜色，区域可种种颜色，区域可种种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． （2）计算不同涂色方法数有两类办法： 当涂四色时，先涂A，E，D，有种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F，若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法， 当涂三色时，先涂A，E，D，有种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，于是有种涂法， 利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为： (种)， 所以不同的涂色方法共有264种. 20．（25-26高二下·天津静海·期中）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (4)若五个小球是相同的，全部放入这三个盒子中，且每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？（注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是. （2）第一步将个球分成组，可分为两种情况，一种是个球，个球，个球，有种方法，另一种情况是个球，个球，个球分组，有种方法； 第二步，将分成的组放到个不同盒子，有种放法， 所以每个盒子不空的不同放法种数是. （3）分两种情况，若号盒子放个球，且每个盒子不空， 只需将剩余三个小球进行全排列放入个盒子即可，共有种放法； 若号盒子放个球，且每个盒子不空，将另个球分成2组，放入余下个盒子，共有种放法； 所有不同放法种数是. （4）将小球分为组，若分为个球，个球，个球， 那么在个盒子中选个放个球，其余个盒子各自放个球，共有种放法； 若分为个球，个球，个球， 那么在个盒子中选个放个球，其余个盒子各自放个球，共有种放法； 所有不同放法种数是. 21．（25-26高二下·福建福州·期中）尚德中学某班级6个学生在活动中拍照，其中男女生各3个. (1)6人要求站两排，女生站前排，有多少种排法；（列式并用数字作答） (2)6人要求站一排，男生不相邻，有多少种排法；（列式并用数字作答） (3)6人要求站一排，3名男生中有且只有甲乙两个男生相邻；（列式并用数字作答） 【答案】(1)36 (2)144 (3)144 【分析】（1）使用排列数求解； （2）使用插空法求解； （3）使用捆绑法和插空法求解. 【详解】（1）根据题意，3名女生站前排有种，3名男生站后排有种，根据分步计数原理可得种排法. （2）6名学生站一排，男生不相邻，先排女生有种，有4个空位再排3名男生，有种，根据分步计数原理可得种排法. （3）根据题意，先排3个女生种，再把甲乙捆绑和另外一个男生插入4个空位有种，根据分步计数原理可得种排法. 22．（江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学）有8辆不同品牌的新能源汽车，其中有5辆车合格，3辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到3辆不合格车全部检测出为止. (1)求前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数； (2)求最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的不同检测情形种数； (3)若前2次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数. 【答案】(1)6 (2)3600 (3)720 【分析】（1）根据3辆车不合格，由3辆不合格的车全排列求解； （2）根据最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的，则在前5次检测中，必须恰有2辆不合格和3辆合格的车检测出求解； （3）根据直到3辆不合格车全部检测出检测就停止，至多第8次检测出第3辆不合格的车求解即可. 【详解】（1）因为有3辆车不合格， 所以前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数为种； （2）因为最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的， 所以在前5次检测中，必须恰有2辆不合格的车被检测出，且前5次检测中，还包含3辆合格的车， 所以有种； （3）前2次检测都是不合格车辆共有种，因为直到3辆不合格车全部检测出就停止， 所以由题意在第8次测出第3辆不合格的车， 即第3次，第4次，第5次，第6次和第7次各检测出1辆合格的车有种. 23．（25-26高二下·陕西西安·月考）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果男生和女生各选2人，那么有多少种不同的选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须参加，那么有多少种不同的选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)90 (2)28 (3)140 【详解】（1）男生和女生各选2人共有种选法. （2）因为男生中的甲和女生中的乙必须参加，所以只需从另外的8人中再选2人即可， 所以男生中的甲和女生中的乙必须参加的选法有种. （3）方法一：男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加，可分为甲参加乙不参加，甲不参加乙参加，甲､乙都参加三种情况. 若甲参加乙不参加，则再从另外8人中选3人即可，有种选法； 若甲不参加乙参加，则同样再从另外8人中选3人即可，有种选法； 若甲､乙都参加，则再从另外8人中选2人即可，有种选法. 故共有种选法. 方法二：从这10人中选4人有种选法， 其中甲､乙都不参加有种选法， 所以男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加的选法有种. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $