8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

跟踪训练2：解析】由表中数据，计算得=×(2+4+5+6 +8)=5 了=5×(20+30+50+50+70)=4。 含=2+4+52+6+82=145， 27=202+302+502+502+702=11200. 5 xy=2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1270,代入7 的计算公式得r= 1270-5×5×44 /145-5×57×√/11200-5×44 0.975. 例3：【解析】由题意，得x=7,y=5, 则(x-)2=10,(%-)2=16.5,(出-)(0%-)= -12.5, -12.5 所以r/10×16.5 ≈-0.97 因为Ir=0.97非常接近1，所以y与x之间具有较强的线性 相关关系. 跟踪训练3：【解析】根据C类学生的数据，得x=3,y=98, 则8(x-)·(0y-)=62, 62 所以相应的样本相关系数*≈0.97， 从上述所求样本相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的 成绩最稳定 随堂检测重反馈 1.ABA中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但 具有相关性，是相关关系：B中教师的教学水平与学生的学习 成绩之间的关系是相关关系；C、D都不具备相关关系。 2.C由题图①可知，散点几乎在一条直线上，且呈正相关， 1>0,由题图②可知，散点分布在一条直线附近，且呈正相 关，∴2>0.又A组成对数据的线性相关程度比B组强， 1>r2,故选C 3.【解析】由数据表可以看出，两个变量的变化趋势为物品大 小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相 关关系 4.【解析】从表中数据可知，元=4，y=5,所以Σ(x;-x)(y: y)=16, (x-)(%- =1 16 所以T= 含(%-列√，-列 16.12≈0.99 8.2一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及其参数 的最小二乘估计 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 响应变量解释变量a b Y bx+a0 知识点二 经验回归方程 7 预习自测 1.ADy=bx+a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x之 间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关 系，故选AD. 2.12.1由y=0.8x+0.1知：当x=15时，y=0.8×15+0.1= 12.1(亿元). 题型探究提技能 例1：C对于A中，一元线性回归模型Y=bx+a+e中，方程表 示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于 B中，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错 误；对于C中，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能 还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生， 所以C正确；对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差 缩小，所以D错误.故选C 跟踪训练1：D因为财政收人x与支出Y满足一元线性回归模 型Y=bx+a+e,其中b=0.7,a=3,所以Y=0.7x+3+e.当x =10时，得Y=0.7×10+3+e=10+e,又1el≤0.5，即-0.5 ≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5 亿元. 例2：【解析】(1)作散点图如图，直观 51 看z与t具有线性相关关系. 4 根据z关于t的表格数据，得 3 i=写1+2+3+4+5)=3. 012345t 8=号0+1+2+3+5)=22 且2杯=45,2=55， 5 所以6=-5t245-5×3×2.2=1.2 2-5子 55-5×9 a=z-bt=2.2-1.2×3=-1.4. 所以z关于t的经验回归方程为z=1.2t-1.4. (2)2=1.2t-1.4,代入t=x-2018,z=y-5, 得y-5=1.2(x-2018)-1.4, 即y=1.2x-2418. 故y关于x的回归方程为少=1.2x-2418. 跟踪训练2：【解析】(1)散点图如图所示. ↑y 90 70 0 060657075808590x 样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系。 (2)因为=写×(88+76+73+66+63)=73.2,7=写×(78 +65+71+64+61)=67.8, 8xy,=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61= 5 25054, =82+76+732+62+632=27174. 6 所以6=空二5 ≈0.625， 2-57 a=y-bc≈67.8-0.625×73.2=22.050. 因此y关于x的经验回归方程为y=22.050+0.625x. 例3：【解析】(1)由题中和附注中的参考数据，知 i=4,8(传-)2=28， √8-)2=0.55， 7 8(传-0(0-)=2：-i=40.17-4×9.32=289, i=1 2.89 2.89 所以r27x0.52×2.6a6x0.55*09 因为0.99>0.75， 所以销售量y与月份代码t有较强的线性相关关系. (2)=932≈1.331及(1)得 7 6.4-0 _2.89≈0.103， (传-)2 28 a=y-6i≈1.331-0.103×4≈0.92， 所以y关于t的经验回归方程为y=0.10t+0.92. (3)当t=8时，代入经验回归方程， 得y=0.10×8+0.92=1.72(万件)， 设毛利润为z,则第8个月的毛利润 z=10×1.72-8≈17.2-2×1.414=14.372（万元） 因为14.372<15， 所以预测第8个月的毛利润不能突破15万元 跟踪训练3：解析】()由题意可得=5×(1+15+2+2.5 +3)=2, 万=5×(0.9+0.7+0.5+0.3+0.2)=0.52 含(x-(x-列=-1x0.38-0.5x018+05×(-02） +1×(-0.32)=-0.9, (-0)2=1+0.25+0.25+1=2.5, 则6=号器-06， a=y-6元=1.24，故y=-0.36x+1.24. (2)当x=2.6时，y=-0.36×2.6+1.24=0.304 故估计该居民家庭的恩格尔系数为0.304. 随堂检测重反馈 1.D根据实际情况能够判定变量x,y具有线性相关性的顺序 为：收集数据(x,y:),i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散 点图；求线性回归方程；对所求出的回归方程作出解释.故 选D. 2.A易求得x=2.5,y=3.5,经验回归直线经过点(x,y),代人 检验知A正确. 3.ACD由y=-0.7x+10.3,得b=-0.7,故x,y呈负相关关 系，则A正确.元-6+8+10+1业=9,5=-0.7×9+10.3=4 4 _6+m+3+2,解得m=5,B错误.当x=1时，y的预测值为 4 2.6,故C正确.x=9,y=4,故经验回归直线必过点(9,4)，则 D正确. 4.63根据题意可得，=行×(10+20+30+40+50)=30， 气×(62+75+81+89+@)=61.4+号.又经验回归直线经 过点(，)，故可得61.4+号=0.67×30+54.9，解得a=68. 第2课时非线性回归模型及回归分析 教材梳理明要点 新知初探 知识点二 1.(1)观测值预测值观测值预测值 2.残差分析 知识点三 1.横轴为对称轴的水平带状区域内越高 2.∑(y-)2 3.大小 预习自测 1.A当x=5时，销售额的预测值为y=5×6.5+17.5=50,残 差为60-50=10万元.故选A. 2.A决定系数R越大，表示回归模型的拟合效果越好 3.B由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果， 即增加越来越缓慢.A中，y=a+x是直线型，均匀增长，不符 合要求；B中，y=a+blnx是对数型，增长越来越缓慢，符合要 求；C中，y=a+be是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不 符合要求；D中，y=a+bx2是二次函数型，图象既有上升，又 有下降，不符合要求。 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由题中散点图的趋势判断，样本点分布在一 条指数型函数图象的周围， 则y=ce2适宜作为y与x之间的回归方程模型. (2)令z=lny,则z=c2x+hG, 于是变量z与x线性相关.由最小二乘法得 10 (x:-x)(a-z）30_1 10 (年-刘 1505， nc1=z-c2x=-3.33, 1 所以z=ny=5x-3.33, 故y关于x的回归方程为y=e=e子-3， 跟踪训练1：【解析】(1)根据题中散点图，得y=c+dnx更适 宜作为每户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归 方程模型.由已知数据，得 含(4-0)(0-列."-7m下235.1-7x1.2x27 d= ∑(4-u)2 13.2-7×1.2×1.2 i=1 心-7m ≈14.2.084 8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 新课程标准解读 学科核心素养 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义. 数学抽象 2.了解最小二乘法的思想，会求经验回归方程，能根据经验回归方程进行 数学建模、数学运算 预测， 教材梳理 明要点 P情境导入 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据： [提示] 求出与这些数据最相 第x年 2 3 4 5 6 近的直线的方程，用 该方程表示y与x的 污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1 关系进行预测 [知识点反思1] 作出这些成对数据的散点图，可以判断污染指数y与x具有线性相关关 回归模型与函数模型 系，如何根据这些样本数据估计出该地区第8年的污染指数呢？ 的区别 函数模型的特点是对 [提示] 于自变量在定义域内 的任何一个值，因变 已新知初探 量都有唯一一个确定 的值与之对应，但在 知识点一一元线性回归模型 回归模型中，响应变 Y=bx+a+e, 量的取值不能完全由 称 ,为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变 解释变量确定，还要 E(e)=0,D(e)= 加上随机误差. 量或 ,x称为自变量或 称为截距参 数， 称为斜率参数；e是 之间的随机误差，如 [知识点反思2] (1)经验回归方程不 果e= ,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描 一定过成对样本数据 述 [知识点反思1] （x,y）,（x2, y2),,(xm,yn)中 知识点二最小二乘法和经验回归方程 的某一点；但经验回 把具有线性相关关系的两个变量x与y用方程y=bx+a来表示，当样本观 归直线一定经过样本 点的中心（元，y)； 测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”最小时，求得b与a的最小二 (2)b也可用公式b= 乘估计为6.a其中6盈：00- ,a=y-bx. 高-n 含(-) 3龙-n 来计算， 将分=bx+a称为Y关于x的 ,也称经验回归函数或经验 b>0时Y与x正相 回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最 关，b<0时Y与x负 相关. 小二乘法 ●[知识点反思2] 085 ©预习自测 1.（多选)下列有关经验回归方程y=bx+a的叙述正确的是 A.反映y与x之间的函数关系 B.反映y与x之间的函数关系 C.表示y与x之间不确定关系 D.表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 2.某地区近十年居民的年收人x与支出y之间的关系大致符合y=0.8x+0.1(单位：亿元)，则预计 今年该地区居民收入为15亿元时，年支出估计是 亿元 题型探究提技能 题型一一元线性回归模型的理解 例1在一元线性回归模型y=:+口+e中，下列说法正确的是 [方法总结1] 在一元线性回归模型 A.Y=bx+a+e是一次函数 Y=bx+a+e中，模 B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 型中的Y也是随机变 C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影 量，其值虽然不能由 变量x的值确定，但 响，这些因素会导致随机误差e的产生 是却能表示为bx+a D.随机误差ε是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误 与e的和（叠加），前 差e的产生 >[方法总结1] 一部分由x所确定， 后一部分是随机的. )》跟踪训练1 若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y=bx+a+e(单位：亿 元)，其中b=0.7,a=3,lel≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支 出预计不会超过 () A9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 题型二求经验回归方程 例2某地随者经济的发展，居民收人逐年增长，该地一银行莲续五年年底 的储蓄存款情况如下表所示 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t=x-2018, =y-5,得到下表 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 086 (1)作：关于1的散点图，求名关于t的经验回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程. [方法总结2] P[方法总结2] 1.求经验回归方程的 一般步骤： (1)画出散点图，从 直观上分析数据间是 否存在线性相关 关系： (2)计算，，言， (3)代入公式求出y =bx+a中参数b,a 的值； (4)写出经验回归方 》跟踪训练2 程并对实际问题作出 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 估计 2.求经验回归方程 学生 A B D E 时，经常遇到x,y的 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 数字过大，直接求解 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 a和b的值时，易出现 错误.为了减少计算 (1)画出散点图； 出错的风险，我们可 (2)求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程（结果保留三位小数）. 以对给定的数据进行 预处理，从而减少运 参考公式：b= 含-ny含(x-)(y-列 ,a=y-bx. 算量，降低出错的 含-n 含(x-) 概奉. ●087 题型三利用经验回归方程进行预测 例3某公司为了预测下月产品的销售情况，找出了近7个月的产品销售量 y(单位：万件)的统计表： 月份代码t 1 2 3 4 6 7 销售量y(万件) Y3 但其中数据污损不清，经查证y=9.32,:=40.17, √(y:-y)2=0.55. (1)请用相关系数说明销售量y与月份代码1有较强的线性相关 [方法总结3] 只有确定两个变量具 关系； 有较强的线性相关关 (2)求y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01）； 系时，求出的经验回 (3)公司经营期间的广告宣传费x,=√（单位：万元）(i=1,2,…,7), 归方程才有实际意 每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15 义，否则根据回归方 万元，请说明理由.（毛利润等于销售金额减去广告宣传费） 程进行的预测毫无意 参考公式及数据：√2≈1.414，√7≈2.646， 义 8(4-0(-y） 相关系数r= 当1r1>0.75时认为两个 V,-0)公(x-)” 变量有较强的线性相关关系。 ●[方法总结3] 088 )跟踪训练3 恩格尔系数法是国际上常用的一种测定贫困线的方法，是指居民家庭年人均食物支出占年人均 消费总支出的比重，它随家庭收入的增加而下降，即恩格尔系数越大，生活越贫困.某调研小组通 过调查得到了某地年人均消费总支出x(万元)与恩格尔系数y的五组数据如下表： 1 1.5 2 2.5 3 y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 (1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程； (2)若该地某居民家庭年人均消费总支出为2.6万元，估计该居民家庭的恩格尔系数、 参考公式：经验回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b= (-x)(y:-y）xy:-nxy ,a=y-bx. 8(x-x)2 含x-n 随堂检测重反馈 1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释：②收 集数据(x:,y:),i=1,2,…,;③求线性回归方程；④根据所搜集的数据绘制散点图.若根据实际 情况能够判定变量x,y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是 ( A.①②④③ B.③②④① C.②③①④ D.②④③① 2.在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y关于x的经验回归 方程为 () A.y=x+1 B.y=x+2 C.y=2x+1 D.y=x-1 3.（多选)已知变量x,y之间的经验回归方程为y=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据 如下表所示，则下列说法正确的是 6 8 10 12 6 m 3 2 089 A.变量x,y之间呈负相关关系 B.m=4 C.可以预测，当x=11时，y约为2.6 D.由表格数据知，该经验回归直线必过点(9,4) 4.某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验 的数据列（个数x,加工时间y)为：(10,62），(20，a),(30,75),(40,81),(50,89).若用最小二乘 法求得其经验回归方程为y=0.67x+54.9,则a的值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[19] 第2课时非线性回归模型及回归分析 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解残差的概念，会利用残差进行回归分析。 数学抽象、数据分析 2.理解决定系数的含义，会利用R判定回归模型的拟合效果 数学运算、数据分析 3.会将非线性回归模型转化为线性回归模型求解回归方程. 数学建模 教材梳理明要点 ●情境导入 经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关， y个 现将收集到的温度x:和产卵数y,(i=1,2,…,350 [提示] 300 可通过换元法，把非 10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图 250 200 线性回归模型转化为 的散点图，显然两个变量有密切的相关关系，150 线性回归模型求解回 但不是线性相关关系.如何得出它们的关系方100 50 归方程. 程呢？ 202224262830323436 >[提示] 台新知初探 知识点一非线性回归方程 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点 没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系， 此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如y=bx+a(a,b∈R)时，称之为非线性经验回归方程. 当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程 来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线 性经验回归方程