训练14 三角函数的图象与性质（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

训练14　三角函数的图象与性质 一、单项选择题 1．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是(　　) A. B. C．π D．2π 答案　C 解析　f(x)＝|sin x＋cos x|＝， 函数图象是将g(x)＝sin的图象在x轴下方的部分向上翻折形成的，如图所示， 根据图象知函数f(x)的最小正周期为π. 2.(2024·上饶模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin的图象，只需将f(x)的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　由题意知，＝－＝，所以T＝＝，解得ω＝3.f＝sin＝0， 所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又因为|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin. 因为＝－，所以只需将f(x)的图象向右平移个单位长度． 3．将函数g(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x的图象，则函数g(x)的图象的一个对称中心是(　　) A．(π，0) B．(π，) C. D. 答案　B 解析　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋(cos 2x＋1)＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝2sin＋， 将g(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象， ∴g(x)＝2sin＋＝2sin 2x＋， ∴g(x)的对称中心为(k∈Z)， 当k＝2时为(π，)． 4．(2023·长春模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图，BC∥x轴，当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，则m的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，] D．(－∞，1] 答案　A 解析　因为BC∥x轴，所以f(x)图象的一条对称轴为x＝×＝， 所以＝－＝，则T＝π，所以ω＝＝2， 又2×＋φ＝π＋kπ，k∈Z，且0<φ<π， 所以φ＝，故f(x)＝sin， 因为当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立， 所以m≤f(x)＋sin 2x＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，x∈恒成立， 令g(x)＝sin，x∈， 则2x＋∈， 所以g(x)＝sin的最小值为， 所以m≤，即m的取值范围是. 二、多项选择题 5．(2024·武汉模拟)先将函数f(x)＝2sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是(　　) A．在上单调递增 B．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1] C．其图象关于直线x＝对称 D．最小正周期为π，其图象关于点对称 答案　BC 解析　由题可得g(x)＝2sin， 当x∈时，2x－∈，故函数g(x)在上不单调，故A错误； 当x∈时，2x－∈， sin∈，g(x)＝2sin∈[－2,1]，故B正确； 当x＝时，2x－＝，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 由g(x)＝2sin可知，最小正周期为π，又x＝，2x－＝，故函数g(x)的图象不关于点对称，故D错误． 6．(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x，g(x)＝sin x＋cos x，则(　　) A．f(x)与g(x)均在上单调递增 B．f(x)的图象可由g(x)的图象平移得到 C．f(x)图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴 D．函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋ 答案　AD 解析　f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝sin x＋cos x＝sin， 选项A，由x∈知，2x∈，x＋∈， 又函数y＝sin x在上单调递增， 所以f(x)与g(x)均在上单调递增，故A正确； 选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，故B错误； 选项C，令2x＝＋k1π，k1∈Z，则x＝＋，k1∈Z， 所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k1∈Z， 令x＋＝＋k2π，k2∈Z，则x＝＋k2π，k2∈Z， 所以g(x)图象的对称轴为直线x＝＋k2π，k2∈Z， 所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，故C错误； 选项D，因为f(x)max＝，g(x)max＝， 而当x＝时，f(x)max＝与g(x)max＝可同时成立， 所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋，故D正确． 三、填空题 7．(2024·江南十校模拟)已知函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为，则ω＝________. 答案　2 解析　函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为，故＝， ∴ω＝2. 8．函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)图象的一条对称轴是直线x＝－，则ω的最小值为________． 答案　 解析　∵g(x)＝f  ＝sin， 又直线x＝－是g(x)图象的对称轴， ∴ω－＝－ω－＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－－3k(k∈Z)， ∵ω>0， ∴当k＝－1时，ω的最小值为. 四、解答题 9．已知函数f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋. (1)求f 的值； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)，若x∈时，不等式c<g(x)<c＋2恒成立，求实数c的取值范围． 解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin， ∴f ＝sin＝sin＝1. (2)g(x)＝f ＝sin ＝sin， 当x∈时，2x＋∈， ∴sin∈， 即－≤g(x)≤1， 又c<g(x)<c＋2恒成立， ∴解得－1<c<－， ∴实数c的取值范围为. 10．已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解　(1)f(x)的定义域为. f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x ＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 设A＝， B＝， 易知A∩B＝. 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $