第二章 必刷小题4 函数与方程（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题4　函数与方程 一、单项选择题 1．(2024·信阳模拟)函数f(x)＝2x＋ln x－4的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　f(x)＝2x＋ln x－4， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2>0， 所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)上． 2．(2023·天津统考)函数y＝(2x－2－x)sin x在区间上的图象大致为(　　) 答案　D 解析　∀x∈， 令f(x)＝(2x－2－x)sin x， 则f(－x)＝(2－x－2x)sin(－x)＝(2x－2－x)sin x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，故A，B不正确； 又因为f(0)＝0，故C不正确． 3．(2023·北京模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0， 则(x－1)(x＋3)＝0， 解得x＝1(舍去)或x＝－3； 当x>0时，令ex－2＝0， 解得x＝ln 2， 所以f(x)的零点个数为2. 4．(2023·咸阳模拟)若函数f(x)＝2x＋a2x－2a的零点在区间(0,1)上，则a的取值范围是(　　) A. B．(－∞，1) C. D．(1，＋∞) 答案　C 解析　∵f(x)是增函数，∴f(0)f(1)＝(1－2a)·(2＋a2－2a)<0，解得a>. 5．若函数y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，则由表中数据确定f(x)，g(x)，h(x)依次对应(　　) x f(x) g(x) h(x) 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A.y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 答案　D 解析　因为＝25＝2，＝4＝2，所以f(x)＝y1； 因为＝125＝3，＝8＝3， 所以g(x)＝y3； 因为＝16＝，＝32＝， 所以h(x)＝y2. 6．(2023·汕头模拟)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象交点的个数，作出g(x)与f(x)的大致图象，如图所示， 由图可知，g(x)与f(x)的图象有两个交点，故原函数有2个零点． 7．(2024·凉山模拟)成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，于2022年12月26日正式开通运营．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L＝10lg.若提速前列车的声强级是100 dB，提速后列车的声强级是50 dB，则提速前列车的声强是提速后列车声强的(　　) A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍 答案　B 解析　设提速前列车的声强为I1，提速后列车的声强为I2，由题意知，100＝10lg， 50＝10lg， 得lg＝10，lg＝5， 则lg－lg＝10－5＝5， 即lg＝lg＝5， 解得＝105. 8．(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋1)恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　令g(x)＝f(x)－loga(x＋1)＝0， 可得f(x)＝loga(x＋1)， 所以函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)的图象有3个交点， 如图所示，当a>1时，函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)只有1个交点，不符合题意； 当0<a<1时，若使得函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋1)的图象有3个交点， 则解得<a<. 二、多项选择题 9．下列命题中是真命题的为(　　) A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)> B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2) C．函数f(x)＝x2－1－有两个零点 D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2] 答案　BD 解析　对于A，若幂函数y＝f(x)的图象过点，可得幂函数为f(x)＝x－1， 则f(3)＝<，A不正确； 对于B，函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，B正确； 对于C，作出y＝x2－1和y＝的图象，如图所示， 由函数的图象可知函数图象只有1个交点， 即函数f(x)＝x2－1－只有一个零点，C不正确； 对于D，∵函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为x＝1，此时函数取得最小值为3， 当x＝0或x＝2时，函数值等于4， 又函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3， ∴实数m的取值范围是[1,2]，D正确． 10．(2023·济宁模拟)下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝x3＋x C．y＝sin D．y＝cos 答案　BD 解析　对于A，设f(x)＝x＋，x≠0， 则f(－x)＝－x＋＝－f(x)， 得y＝x＋为奇函数， 令x＋＝0，方程无解， 即函数不存在零点，故A不符合； 对于B，设f(x)＝x3＋x，x∈R， 则f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)， 得y＝x3＋x为奇函数，令x3＋x＝0， 得x＝0，即函数存在零点，故B符合； 对于C，设f(x)＝sin＝cos x，是R上的偶函数，故C不符合； 对于D，设f(x)＝cos＝－sin x，是R上的奇函数，且存在零点，故D符合． 11．(2023·临沂模拟)边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台(x∈N+)的收入函数R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　) A．P(x)取得最大值时每月产量为63台 B．边际利润函数的表达式为MP(x)＝2 480－40x(x∈N+) C．利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值 D．随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额减少 答案　BCD 解析　对于A选项，P(x)＝R(x)－C(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝＝62.5， 因为x∈N+，所以P(x)取得最大值时每月产量为62台或63台，A错； 对于B选项，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x(x∈N+)，B对； 对于C选项，P(x)max＝P(62)＝P(63)＝74 120， 因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数， 则MP(x)max＝MP(1)＝2 440，C对； 对于D选项，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，所以随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额减少，D对． 12．(2023·赤峰模拟)已知函数f(x)＝若f(x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的值可以是(　　) A．－ B．0 C. D．e 答案　BC 解析　当x<0时，f(x)＝－， 则其关于y轴对称的图象所对应的函数解析式为y＝，x>0. 由题意知，当x>0时，y＝与y＝|x－2|＋a的图象至少有两个公共点， 即方程＝|x－2|＋a在区间(0，＋∞)上至少有两个实根． 令y＝a，y＝－|x－2|＝ 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝a与y＝－|x－2|(x>0)的图象，如图所示． 由图可知，若直线y＝a与曲线y＝－|x－2|(x>0)至少有两个公共点，则0≤a≤. 故实数a的取值范围是. 三、填空题 13．已知函数f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________. 答案　 解析　因为f(1)＝1－4log21＝1>0， f(3)＝3－4log23<3－4log22＝－1<0， 根据二分法可得，x1＝2， 且f(2)＝2－4log22＝－2<0， 所以零点所在的区间为[1,2]， 所以x2＝. 14．若函数f(x)＝ln x－＋a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　由题意得f′(x)＝＋>0在区间(1，e)上恒成立， 所以函数f(x)＝ln x－＋a在区间(1，e)上单调递增， 又f(x)在区间(1，e)上存在零点， 则f(1)＝ln 1－1＋a<0，f(e)＝ln e－＋a>0， 所以－1<a<1，故实数a的取值范围为. 15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x) ＝k·x＋b；②f(x)＝k·log2x＋b；③f(x)＝k·x2＋b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元． 答案　33 解析　根据题意，当k>0，b∈R时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故选择模型③：f(x)＝k·x2＋b. 根据题意，得 解得 所以f(x)＝x2－， 当x＝100时，f(x)＝×1002－＝33. 16．(2023·咸阳模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝[f(x)]2－3f(x)＋2的零点个数是________． 答案　6 解析　令g(x)＝0，即[f(x)]2－3f(x)＋2＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝2， 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，方程f(x)＝1有3个实数解，f(x)＝2有3个实数解， 所以方程g(x)＝0的实数解有6个， 所以函数g(x)＝[f(x)]2－3f(x)＋2的零点个数是6. 学科网（北京）股份有限公司 $