第一章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式

一、单项选择题

1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝，那么A∪B等于(　　)

A．(－1,4)   B．(－1,4]

C．(－2,5)   D．[－2,5)

答案　D

解析　由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，

即A＝[－2,4]．

由<0，解得－1<x<5，即B＝(－1,5)，

所以A∪B＝[－2,5)．

2．“x<1”是“x2－4x＋3>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1，

所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要条件．

3．若不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是(　　)

A．0≤k≤6   B．－6<k<0

C．0<k<6   D．k<0或k>6

答案　C

解析　由题意，函数y＝2x2＋2kx＋3k的图象开口向上，

又不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，

∴对应方程的判别式Δ＝(2k)2－4×2×3k<0，解得0<k<6.

4．若关于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，则q的取值范围是(　　)

A．q>8   B．q<－4

C．q>8或q<－4   D．q<－8

答案　D

解析　由题意得

解得q<－8.

5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)

A．－2π<α－β<2π   B．0<α－β<2π

C．－2π<α－β<0   D．{0}

答案　C

解析　∵－π<β<π，

∴－π<－β<π，

又－π<α<π，

∴－2π<α－β<2π，

又α<β，∴α－β<0，

∴－2π<α－β<0.

6．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为(　　)

A．2  B．3  C.  D．4

答案　B

解析　因为a，b为正实数，所以

a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3，

当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立．

7．若关于x的方程x2＋x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　令f(x)＝x2＋x＋9，

则

解得－<a<0，

即a的取值范围是.

8．已知x1>0，x2>0，x1＋x2<ex1x2(e为自然对数的底数)，则(　　)

A．x1＋x2>1   B．x1＋x2<1

C.＋<   D.＋>

答案　A

解析　由题意得＝＋＝＋<e.

又(x1＋x2)＝1＋＋＋1

≥2＋2＝4，

当且仅当x1＝x2时等号成立，

所以x1＋x2>>1.

二、多项选择题

9．下列各结论正确的是(　　)

A．“xy>0”是“>0”的充要条件

B.＋的最小值为2

C．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0”

D．“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件

答案　AD

解析　xy>0⇔>0，故A正确；

由基本不等式知，＋≥2，

当且仅当＝，

即x2＝－8时等号成立，

由于x2＝－8无解，

所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；