第二章 必刷小题3 基本初等函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题3　基本初等函数

一、单项选择题

1．已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)等于(　　)

A．3  B.  C．1  D．－1

答案　B

解析　由题意知g(x)是f(x)＝log3x的反函数，

所以g(x)＝3x，

所以g(－1)＝3－1＝.

2．(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为(　　)

A．2  B.  C．－  D．－2

答案　B

解析　依题意，设f(x)＝xα，

则＝＝3α＝4，

所以f ＝α＝＝.

3．(2023·马鞍山质检)已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.3，则(　　)

A．a<b<c  B．a<c<b

C．c<a<b   D．b<c<a

答案　B

解析　因为a＝log30.3<log31＝0，b＝30.3>30＝1,0<c＝0.30.3<0.30＝1，

所以a<c<b.

4．(2024·成都模拟)已知函数f(x)＝logax＋2(a>0且a≠1)在区间上的最大值为4，则a的值为(　　)

A.  B．2  C.  D．2或

答案　D

解析　当a>1时，f(x)＝logax＋2在上单调递增，f(x)max＝f(4)＝4，

即loga4＋2＝4，解得a＝2；

当0<a<1时，f(x)＝logax＋2在上单调递减，f(x)max＝f ＝4，即loga＋2＝4，

解得a＝，

综上，a＝2或a＝.

5．(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　A

解析　对于A，B，若y＝a－x＝x的图象正确，则0<a<1，

∴y＝logax＋a单调递减，

又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误；

对于C，D，若y＝a－x＝x的图象正确，则a>1，

∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误．

6．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是(　　)

A．10  B．1  C．11  D．lg 11

答案　B

解析　设t＝4x－2x＋1＋11，则y＝lg t，

因为t＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lg t≥lg 10＝1，

所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值为1.

7．(2023·昆明模拟)设a＝，b＝ln－ln 3，c＝，则下列判断正确的是(　　)

A．a>c>b   B．c>a>b

C．c>b>a   D．a>b>c

答案　B

解析　∵b＝ln－ln 3＝－＝＝<＝0，

又ln a＝＝<，ln c＝＝ln π>，

∴ln c>ln a，即c>a，又a＝>0，

因此c>a>b.

 

8．(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

答案　B

解析　设过滤后水中大颗粒杂质含量为y mg/L，

则经过x层过滤后，满足

y＝25×x＝25×x，x∈N+，

若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则25×x≤2.5，即x≤，

∵y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，

∴lgx≤lg ，∴xlg ≤－1，

∴x(lg 2－lg 3)≤－1，

∵lg 2－lg 3<0，∴x≥≈≈5.6，

∵x∈N+，∴x的最小值为6，