第二章 必刷小题3 基本初等函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题3　基本初等函数 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)等于(　　) A．3 B. C．1 D．－1 答案　B 解析　由题意知g(x)是f(x)＝log3x的反函数， 所以g(x)＝3x， 所以g(－1)＝3－1＝. 2．(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为(　　) A．2 B. C．－ D．－2 答案　B 解析　依题意，设f(x)＝xα， 则＝＝3α＝4， 所以f ＝α＝＝. 3．(2023·马鞍山质检)已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.3，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 答案　B 解析　因为a＝log30.3<log31＝0，b＝30.3>30＝1,0<c＝0.30.3<0.30＝1， 所以a<c<b. 4．(2024·成都模拟)已知函数f(x)＝logax＋2(a>0且a≠1)在区间上的最大值为4，则a的值为(　　) A. B．2 C. D．2或 答案　D 解析　当a>1时，f(x)＝logax＋2在上单调递增，f(x)max＝f(4)＝4， 即loga4＋2＝4，解得a＝2； 当0<a<1时，f(x)＝logax＋2在上单调递减，f(x)max＝f ＝4，即loga＋2＝4， 解得a＝， 综上，a＝2或a＝. 5．(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　A 解析　对于A，B，若y＝a－x＝x的图象正确，则0<a<1， ∴y＝logax＋a单调递减， 又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误； 对于C，D，若y＝a－x＝x的图象正确，则a>1， ∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误． 6．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是(　　) A．10 B．1 C．11 D．lg 11 答案　B 解析　设t＝4x－2x＋1＋11，则y＝lg t， 因为t＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lg t≥lg 10＝1， 所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值为1. 7．(2023·昆明模拟)设a＝，b＝ln－ln 3，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c 答案　B 解析　∵b＝ln－ln 3＝－＝＝<＝0， 又ln a＝＝<，ln c＝＝ln π>， ∴ln c>ln a，即c>a，又a＝>0， 因此c>a>b. 8．(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　设过滤后水中大颗粒杂质含量为y mg/L， 则经过x层过滤后，满足 y＝25×x＝25×x，x∈N+， 若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则25×x≤2.5，即x≤， ∵y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴lgx≤lg ，∴xlg ≤－1， ∴x(lg 2－lg 3)≤－1， ∵lg 2－lg 3<0，∴x≥≈≈5.6， ∵x∈N+，∴x的最小值为6， ∴PP棉滤芯层数最少为6. 二、多项选择题 9．在下列四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　) 答案　ABD 解析　当a>b>0时，A正确；当b>a>0时，B正确；当0>a>b时，D正确；当0>b>a时，无此选项． 10．若0<a<1，则下列关系成立的是(　　) A．loga(1－a)>loga(1＋a) B．loga(1＋a)<0 C． D．a1－a<1 答案　ABD 解析　因为0<a<1，所以0<1－a<1＋a， 因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正确； 因为0<a<1，所以1<1＋a<2， 因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此，故C不正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此a1－a<a0＝1，故D正确． 11．已知1<ea<eb，则下列大小关系中不正确的是(　　) A．a2>b2 B.a>b C．log2a>log2b D．a＋>b＋ 答案　ACD 解析　因为1<ea<eb，则b>a>0，因此b2>a2，A不正确；a>b，B正确；log2b>log2a，C不正确；而>，即有b＋>a＋，D不正确． 12．(2024·绥化模拟)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x<y<0，则f(x)<f(y) D．f(x)的值域为[0,2) 答案　ABD 解析　∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点， ∴a＋b＝0，故A正确； 即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a， ∵函数f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交， ∴b＝2，即a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2. 由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y， 则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确； 由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上单调递减， 故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误； 由于|x|∈(0,1]， ∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确． 三、填空题 13．计算：＋πlg 1＋log2－log4＝________. 答案　 解析　＋πlg 1＋log2－log4 ＝＋π0＋log2－log2 ＝2＋1＋log2＝＋1－1＝. 14．方程logx10＋＝6的解为________． 答案　x＝ 解析　由题意得logx10＋＝＋＝＝＝6，即lg x＝，解得x＝. 15．(2024·楚雄模拟)已知函数f(x)＝loga(x2＋ax＋3)(a>0且a≠1)，若f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　(1,2) 解析　令g(x)＝x2＋ax＋3，可得函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－， 所以g(x)≥g＝3－， 因为f(x)>1恒成立， 所以即 解得1<a<2， 即实数a的取值范围是(1,2)． 16．(2023·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝x3＋2x－2－x，若实数a，b满足f(2a2)＋f(b2－1)＝0，则a的最大值为________． 答案　 解析　由题意得函数f(x)的定义域为R， 又f(－x)＝(－x)3＋2－x－2x＝－x3＋2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数， 因为函数y＝x3，y＝2x，y＝－2－x均为R上的增函数，故函数f(x)为R上的增函数． 由f(2a2)＋f(b2－1)＝0可得f(2a2)＝－f(b2－1)＝f(1－b2)，所以2a2＝1－b2，即2a2＋b2＝1， 当a取最大值时，a>0， 所以a＝ ＝≤＝， 当且仅当即时等号成立， 因此，a的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $