第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷小题2　函数的概念与性质 一、单项选择题 1．函数f(x)＝＋log2(x－1)的定义域是(　　) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1,2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得解得x≥2， 所以函数f(x)的定义域是[2，＋∞)． 2．(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于(　　) A．－ B. C．－1 D．1 答案　C 解析　f(x)的定义域是R， 由题意得f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1， 故f(x)＝2x－2－x， 则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)， 即f(x)是奇函数． 3．已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝(x≠－2) B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝＋2(x≠0) D．f(x)＝－1(x≠0) 答案　C 解析　令＝t，即x＝＋1， 则f(t)＝＋1＋1＝＋2， 由x－1≠0，得t≠0， 故f(x)的解析式为f(x)＝＋2(x≠0)． 4．(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝21－x B．y＝22－x C．y＝21＋x D．y＝22＋x 答案　B 解析　设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x. 5．(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝xsin x C．f(x)＝x－ D．f(x)＝ex－e－x 答案　D 解析　对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称， 故f(x)＝为非奇非偶函数，故A不符合题意； 对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意； 对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在定义域内不是单调函数，故C不符合题意； 对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意． 6．已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f ，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a 答案　D 解析　因为函数f(x)为R上的偶函数， 所以b＝f ＝f(－log23)＝f(log23)， 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)， 均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为2>log23>log2＝>， log310>log39＝2， 所以<log23<log310， 所以f()>f(log23)>f(log310)，即c<b<a. 7．(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－3 答案　B 解析　因为f(1＋x)为偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2－x)＝f(x)， 又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0， 所以f(2＋x)＝－f(2－x)， 所以f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 故f(x)的一个周期为4， 所以f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－1. 8．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，对任意x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足(x2－x1)·[x2f(x2)－x1f(x1)]>0，且f(1)＝2，则f(x)>的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 答案　A 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 令F(x)＝xf(x)， 则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)， 故F(x)在定义域内为偶函数， ∵任意x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2， 满足(x2－x1)[x2f(x2)－x1f(x1)]>0， 则F(x)在(－∞，0)上单调递增， 故F(x)在(0，＋∞)上单调递减， 对于不等式f(x)>， 当x<0时，可得xf(x)<2，即F(x)<2， ∵F(x)在(－∞，0)上单调递增， 且F(－1)＝F(1)＝f(1)＝2， ∴F(x)<2的解集为(－∞，－1)； 当x>0时，可得xf(x)>2，即F(x)>2， ∵F(x)在(0，＋∞)上单调递减， 且F(1)＝f(1)＝2， ∴F(x)>2的解集为(0,1)， 综上所述，不等式f(x)>的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 二、多项选择题 9．(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝－1 C．f(x)＝ln D．f(x)＝ln(sin x) 答案　ABC 解析　由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确； 由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 10．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，且f(x)在区间[－1，2)上单调递增，在区间[2,5]上单调递减，则以下说法一定正确的是(　　) A．f(2)>f(5) B．f(－1)＝f(5) C．f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2) D．f(0)与f(3)的大小不确定 答案　AD 解析　由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减， 可得f(2)>f(5)，故A正确； 题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称， 所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确； 根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续， 所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确； x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性， 所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确． 11．(2023·滁州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0,2]上单调递增，则下列说法正确的是(　　) A．4是函数f(x)的一个周期 B．直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴 C．函数f(x)在区间[－6，－5)上单调递增 D．函数f(x)在区间[－2,98]上有26个零点 答案　ABD 解析　∵偶函数f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)＋f(2)， ∴令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)， 即f(2)＝f(2)＋f(2)，∴f(2)＝0， 则f(x＋4)＝f(x)， 即4是函数f(x)的一个周期，故A正确； ∵f(x)是偶函数， ∴函数f(x)的图象关于y轴，即直线x＝0对称， 又∵4是函数f(x)的一个周期， ∴f(x)＝f(－4＋x)＝f(4＋x)＝f(－4－x)， ∴直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确； ∵函数f(x)在区间[0,2]上单调递增， ∴函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，结合周期性易知f(x)在区间[－6，－4]上单调递减，故C错误； ∵f(2)＝f(－2)＝0，f(x)在区间[－2,0]上单调递减，在区间[0,2]上单调递增， 即函数f(x)在区间[－2,2]上只有－2,2这两个零点， 结合周期性可知函数f(x)在区间[－2,98]上有26个零点，故D正确． 12．(2023·娄底联考)若函数f(x)＝log2(4x＋1)－2x，则(　　) A．f(x)>0 B．f(x)＝f(－x)－2x C．f(x)在[0，＋∞)上单调递增 D．f(x)＋x为偶函数 答案　ABD 解析　因为f(x)＝log2(4x＋1)－2x＝log2(4x＋1)－log222x＝log2＝log2>log21＝0，故A正确； 因为f(－x)＝log2＝log2(1＋4x)， 所以f(x)＝f(－x)－2x，即f(x)＋x＝f(－x)－x，所以f(x)＋x为偶函数，故B正确，D正确； 对于f(x)＝log2， 因为y＝1＋是减函数， 所以根据复合函数的单调性可得f(x)是减函数，故C错误． 三、填空题 13．(2023·万州模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________. 答案　4 解析　因为f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3， 所以f(f(－2))＝f(3)＝23－1＝22＝4. 14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是____________________________． 答案　f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一) 解析　根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数， 且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为R，根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 15．(2023·绍兴模拟)已知函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，则f(2)＝________. 答案　1 解析　因为函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)关于直线x＝1对称， 又f(x＋3)＋f(x＋1)＝2， 令x＝－1，得f(2)＋f(0)＝2， 又f(x)关于直线x＝1对称， 所以f(2)＝f(0)， 则f(2)＋f(0)＝2f(2)＝2， 所以f(2)＝1. 16．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 答案　1 解析　由题意得ln x∈[0,2]， 当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减， ∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝<2，不符合题意； 当0<a<2时，f(x)＝ f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意． 故a的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $