第二章 §2.13 函数模型的应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.13　函数模型的应用 课标要求　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 知识梳理 1．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　×　) (3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度．(　√　) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　×　) 2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100 D．y＝100x 答案　D 解析　根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快． 3．(2024·南宁联考)有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这组数据的最佳函数模型是(　　) A．y＝ B．y＝log2x C．y＝·2x D．y＝x2 答案　C 解析　通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确． 4．(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A．26米 B．28米 C．31米 D．33米 答案　C 解析　h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－52＋，h(t)max＝h＝≈31. 题型一　用函数图象刻画变化过程 例1 (1)(多选)(2024·钦州模拟)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标 B．在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等 C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值 D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量 答案　BD 解析　由图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误； 在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确； 甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误； 在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确． (2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 答案　B 解析　由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　A 解析　当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1； 当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2； 当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤. 综上，y＝f(x)＝ 函数图象大致如A选项所示． 题型二　已知函数模型的实际问题 例2 (1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(　　) A．6倍 B．102倍 C．103倍 D．106倍 答案　C 解析　设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1， 里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2， 则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8； lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8， ＝＝103. (2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A．32天 B．33天 C．34天 D．35天 答案　C 解析　依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05， 即6.05＝＋0.05，解得λ＝6， 所以μ(t)＝＋0.05， 由μ(t)＝＋0.05≤0.1， 得≤， 即－≤ln ，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6， 又t∈N，所以tmin＝34， 至少需要放置的时间为34天． 思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 跟踪训练2 (2023·东莞联考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是100小时，在10 ℃的保鲜时间是60小时，则该食品在20 ℃的保鲜时间是(　　) A．20 小时 B．24 小时 C．32 小时 D．36 小时 答案　D 解析　由题意可得eb＝100，e10k＋b＝60， 可得e10k＝， 故当x＝20时，y＝e20k＋b＝(e10k)2·eb ＝×100＝36， 即该食品在20 ℃的保鲜时间是36小时． 题型三　构造函数模型的实际问题 例3 (2023·宣城模拟)某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2023年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润＝收入－成本)； (2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 解　(1)该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10x万元，共60x万元收入， 则利润W(x)＝ 化简得W(x)＝ (2)当0<x≤5时，W(x)单调递增， W(x)max＝W(5)＝－25； 当5<x≤20时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝－＝20， 则W(x)max＝W(20)＝200； 当x>20时，∵x＋≥60， 当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立， ∴W(x)max＝W(30)＝－30－＋265＝205. 综上，当2023年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元． 思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 跟踪训练3 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　设石片第n次接触水面时的速度为vn， 则vn＝20×0.85n－1， 由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3， 得n－1≤log0.850.3， 又log0.850.3＝＝＝＝≈7.4， 所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表： t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．v＝log2t B．v＝ C．v＝ D．v＝2t－2 答案　C 解析　从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快， A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意； B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意， C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意； D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意． 2．(2023·广安模拟)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 答案　C 解析　在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C. 3．(2024·赤峰模拟)心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．已知一个学生在5 min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)(　　) A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 答案　A 解析　由题意可得20＝200(1－e－5k)， 则e－5k＝＝0.9， 两边取以e为底的对数并整理得k＝≈0.021. 4．火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为(　　) A．130 dB B．140 dB C．150 dB D．160 dB 答案　B 解析　设人交谈时的声强为x1， 则火箭发射时的声强为109x1， 则50＝10lg ， 解得x1＝10－7， 则火箭发射时的声强为109×10－7＝102， 将其代入d(x)＝10lg 中， 得d(102)＝10lg ＝140(dB)， 故火箭发射时的声强级约为140 dB. 5．某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过 100元但不超过300元，则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过 300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是(　　) A．如果购物总额为78元，则应付款73元 B．如果购物总额为228元，则应付款205.2元 C．如果购物总额为368元，则应付款294.4元 D．如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元 答案　C 解析　若购物总额为78元， 则应付款78－5＝73(元)，故A正确； 若购物总额为228元， 则应付款228×0.9＝205.2(元)，故B正确； 若购物总额为368元，则应付款300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误； 若购物时一次性应付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应的购物额度＝216(元)，因此购物总额为 300＋216＝516(元)，故D正确． 6．(2023·济南模拟)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元．由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝3－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q＝A＋2，则投资这两座城市收益的最大值为(　　) A．26万元 B．44万元 C．48万元 D．72万元 答案　B 解析　设甲城市投资a万元， 则乙城市投资(120－a)万元， 由题意可知 解得40≤a≤80， 设投资这两座城市收益为y， 则有y＝3－6＋(120－a)＋2 ＝3－a＋26， 令＝t⇒t∈[2，4]， 则有f(t)＝－t2＋3t＋26， 该二次函数的图象开口向下， 且对称轴t＝6∈[2，4]， 所以f(t)max＝f(6)＝－×(6)2＋3×6＋26＝44. 二、多项选择题 7．(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　) A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 答案　ABD 解析　图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确； 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确； 图②游乐场实行的措施是提高门票的售价， 故C错误； 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确． 8．(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．不同声源的声压级如表所示： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案　ACD 解析　因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大， 且∈[60,90]，∈[50,60]， 所以 所以p1≥p2，故A正确； 由Lp＝20×lg ，得p＝ 因为＝40， 所以p3＝＝100p0，故C正确； 假设p2>10p3，则 所以 所以，不可能成立，故B不正确； 因为＝ 所以p1≤100p2，故D正确． 三、填空题 9．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝log5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为________．(填序号) 答案　② 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，如图所示．观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝log5x进行奖励符合商场的要求． 10．(2023·温州联考)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85 ℃的开水泡制，再等茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0 ℃，经过一定时间t(单位：min)后的温度T(单位：℃)可由公式T－Tα＝求得，其中Tα表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中，如果茶温降到40 ℃需要20 min，那么在25 ℃室温下，用85 ℃的开水刚泡好的绿茶大约需要放置________ min才能达到最佳饮用口感． 答案　10 解析　由题意得40－25＝(85－25)×， 所以＝， 设一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中，茶温降到55 ℃需要t min， 则55－25＝(85－25)×， 所以 因为 所以t＝10. 四、解答题 11．(2023·南京统考)某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝(x>0)．该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位：万元)． (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (2)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？ 解　(1)由题意得y＝0.2x＋(x>0)． 要满足题意，则y≤7.2， 即0.2x＋≤7.2， 解得11≤x≤20. 即设备占地面积x的取值范围为[11,20]． (2)y＝0.2x＋＝＋－1 ≥2－1＝2－1＝7， 当且仅当＝，即x＝15时，等号成立． 所以当设备占地面积为15 平方米时，y的值最小． 12．(2024·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6，精确到1分钟) 解　(1)当x∈[0,16]时， 设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)， 因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80， 所以b＝－，所以f(x)＝－(x－12)2＋84； 当x∈[16,40]时，f(x)＝log0.8(x＋a)＋80， 由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15， 所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80， 综上，f(x)＝ (2)当x∈[0,16]时， 令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68， 即(x－12)2≥64， 解得x≤4或x≥20(舍去)， 所以x∈[0,4]； 当x∈[16,40]时， 令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68， 得x≥15＋0.8－12≈29.6， 所以x∈[30,40]， 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟)． 学科网（北京）股份有限公司 $